Blow-up in a degenerate parabolic equation with gradient nonlinearity

Stinner, Christian; Wiegner, Michael (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2008)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In dieser Arbeit werden positive klassische Lösungen der degeneriert parabolischen Differentialgleichung $u_t = u^p Delta u + u^q + kappa u^r|abla u|^2$ mit Dirichlet-Nullrandwerten in beschränkten, glatten Gebieten Omega untersucht. Dabei sind p>0, q>1, r>-1 und kappa reelle Parameter. Das Ziel dieser Arbeit ist es herauszufinden, unter welchen Bedingungen an die Parameter p,q,r und kappa das Phänomen des Blow-up von Lösungen auftritt und wie diese Parameter die Größe der Blow-up-Menge beeinflussen. Dabei sprechen wir vom Blow-up einer Lösung, wenn diese Lösung nach endlicher Zeit unbeschränkt wird. Ähnliche Fragestellungen wurden in den letzten 20 Jahren für degeneriert parabolische Gleichungen ohne Gradiententerm und die „forced porous medium”-Gleichung betrachtet (siehe z.B. Galaktionov, Wiegner, Winkler). Dabei wurde insbesondere für obige Gleichung im Fall kappa = 0 gezeigt, dass der Exponent q = p+1 kritisch bezüglich des Blow-up-Phänomens ist. In dieser Arbeit wird nun insbesondere gezeigt, wie der Gradiententerm für positives bzw. negatives kappa dieses Verhalten der Lösungen beeinflusst. In Kapitel 1 wird bewiesen, dass obige Gleichung eine maximale klassische Lösung besitzt. Diese Lösung liegt oberhalb jeder positiven klassischen Lösung der Gleichung und ist eindeutig bestimmt. Außerdem wird die Frage der Eindeutigkeit von positiven klassischen Lösungen der Gleichung untersucht. In den Kapiteln 2 und 3 wird klassifiziert, unter welchen Bedingungen die maximale Lösung der Gleichung global in Omega x (0, infty) existiert und wann Blow-up bei der maximalen Lösung auftritt. Dabei treten für fixierte Werte von p,q,r und kappa sowie ein fixiertes Gebiet Omega die folgenden Phänomene auf: Entweder existieren die maximalen Lösungen zu allen Anfangsdaten global oder bei allen maximalen Lösungen tritt unabhängig von den Anfangsdaten Blow-up auf oder es gibt sowohl globale Lösungen (für kleine Anfangsdaten) als auch das Blow-up-Phänomen (für große Anfangsdaten). In Kapitel 2 wird dabei gezeigt, dass für positives kappa neben dem schon bekannten Exponenten q = p+1 mit r = 2p-q ein weiterer kritischer Exponent existiert. In diesem Fall ist der Gradiententerm positiv und begünstigt daher Blow-up. Im Unterschied zum Fall kappa > 0 wird in Kapitel 3 bewiesen, dass für negatives kappa der Exponent r = q-2 der zweite kritische Exponent neben q = p+1 ist. In letzterem Fall wirkt der negative Gradiententerm dem Blow-up entgegen. Außerdem wird für negatives kappa untersucht, ob im Fall der globalen Existenz der maximalen Lösung in Omega x (0, infty) diese Lösung für t gegen unendlich gegen 0 konvergiert. Es stellt sich heraus, dass die Exponenten r = q-2 und q = p+1 auch im Hinblick auf diese Frage eine wichtige Rolle spielen. Im Kapitel 4 wird für positives kappa gezeigt, wie die Parameter die Größe der Blow-up-Menge beeinflussen. Dazu wird vorausgesetzt, dass die maximale Lösung der Gleichung radialsymmetrisch ist und nach einer endlichen und positiven Zeit T unbeschränkt wird. Unter dieser Annahme wird für eine Klasse von Anfangsdaten gezeigt, dass die Blow-up-Menge für q > max {p+1, r+2} nur aus einem Punkt besteht, während sie eine Kugel enthält, wenn q <= max {p+1, r+2} gilt.

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