Shape optimization of a floating body

  • Gestaltsoptimierung eines schwimmenden Körpers

Franken, Norbert; Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2010)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2010

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit betrachten wir die variationelle Formulierung eines schwimmenden Körpers in einer idealen Flüssigkeit. Dabei untersuchen wir den Fall einer stationären zweidimensionalen Potentialströmung und sind damit in der Lage, das Geschwindigkeitspotential durch seine konjugiert harmonische Funktion, die Stromfunktion, zu ersetzen. Diese hat im Vergleich zur Potentialfunktion den Vorteil, anstelle von Neumanndaten am Rand Dirichletdaten zu besitzen. Insbesondere können wir so das Gebiet, in dem sich die Flüssigkeit befindet, als Positivitätsmenge der Stromfunktion charakterisieren. Das resultierende zu minimierende Energiefunktional hängt zum einen von der Stromfunktion, zum anderen vom Körper ab. Wir führen diese beiden Minimierungen in zwei aufeinanderfolgenden Schritten durch. Bei der Minimierung der Stromfunktion geben wir als Nebenbedingung vor, dass das Volumen der Flüssigkeit konstant ist. Um dennoch nicht-volumenerhaltende Störungen benutzen zu können, ergänzen wir das Funktional um einen Strafterm und vernachlässigen die Volumenbedingung. Dabei wird der Strafterm so gewählt, dass das ursprüngliche Funktional approximiert wird. Mittels direkter Methoden zeigen wir die Existenz eines Minimieres des bestraften Variationsproblems sowie dessen Beschränktheit und Subharmonizität. Eine Konstruktion von zwei geeigneten Vergleichsfunktionen führt zur Äquivalenz des ursprünglichen und des gestörten Problems unter angemessener Parameterwahl. Außerdem können wir mit Hilfe einer Technik von Morrey Hölderstetigkeit sowie mit einer Methode von Alt und Caffarelli Lipschitzstetigkeit der Stromfunktion als maximal mögliche Regularität nachweisen. Eine Nichtentartungseigenschaft der Stromfunktion impliziert Dichteabschätzungen der freien Flüssigkeitsoberfläche, mit denen wir folgern können, dass der freie Rand lokal endlichen Perimeter hat. Gradientenabschätzungen an der Flüssigkeitsoberfläche, die mit Hilfe von Blow-up Grenzwerten hergeleitet werden, führen schließlich zu der Aussage, dass der reduzierte Rand lokal von der Klasse C^{1,beta} ist. Durch ein weiteres Resultat, welches nur in zwei Dimensionen gültig ist, können wir diese Regularität auf den kompletten freien Rand erweitern. Den optimalen schwimmenden Körper suchen wir in der Familie aller kompakten Mengen mit vorgeschriebenem Volumen, deren Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten gleichmäßig beschränkt ist. Außerdem verlangen wir Beschränktheit des Dichteperimeters des Randes, um dort eventuell auftretende Oszillationen auszuschließen. Erneut benutzen wir direkte Methoden, wobei wir mit zwei verschiedenen Gebietskonvergenzen arbeiten, nämlich mit Hausdorff Konvergenz und gamma-Konvergenz. In beiden Fällen können wir die Existenz eines optimalen schwimmenden Körpers nachweisen.

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