Difference equations with semisimple Galois groups in positive characteristic

• Differenzengleichungen mit halbeinfachen Galoisgruppen in positiver Charakteristik

Maier, Annette; Hartmann, Julia (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2011, 2012)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Kurzfassung

Sei F ein Körper und sigma ein Automorphismus auf F. Eine (lineare) Differenzengleichung über F ist eine Gleichung der Form sigma(y)=Ay, wobei A ein Element in GL_n(F) und y einen Vektor mit n Unbestimmten bezeichnet. Man kann dann Lösungen in Erweiterungskörpern von F betrachten und so genannte Picard-Vessiot Ringe definieren, welche ein maximal unabhängiges System von Lösungen enthalten und gleichzeitig auf eine gewisse Weise minimal mit dieser Eigenschaft sind. Falls ein solcher Picard-Vessiot Ring zu der gegebenen Differenzengleichung existiert, kann man ihm eine lineare algebraische Gruppe, die Differenzen-Galoisgruppe, zuordnen. Sei nun F = F_q(s,t) und sigma der Automorphismus auf F, der F_q(t) punktweise fixiert und s auf s^q abbildet. Das Hauptresultat der vorliegenden Dissertation besagt, dass folgende Gruppen als Differenzen-Galoisgruppen über F vorkommen: die speziellen linearen Gruppen SL_n, die symplektischen Gruppen Sp_(2d), die speziellen orthogonalen Gruppen SO_n (wobei hier q ungerade vorausgesetzt wird) und die Dickson Gruppe G_2. Für all diese Gruppen werden explizite Differenzengleichungen angegeben. Weiterhin wird gezeigt, dass jede halbeinfache, einfach zusammenhängende Gruppe G, die über F_q definiert ist, für ein geeignetes i als Differenzen-Galoisgruppe über F_(q^i)(s,t) vorkommt, wobei dann sigma(s)=s^(q^i). Da alle betrachteten Gruppen zusammenhängend sind, können diese Ergebnisse von F_q(s,t) nach F_q(s)'(t) geliftet werden, wobei F_q(s)' einen algebraischen Abschluss von F_q(s) bezeichne. Dies führt zu so genannten rigid analytisch trivialen Prä-t-Motiven mit denselben Galoisgruppen. Die Kategorie der rigid analytisch trivialen Prä-t-Motive enthält die Kategorie der t-Motive, welche in der Arithmetik von Funktionenkörpern von Interesse ist.