Embedding theorems for decomposition spaces with applications to wavelet coorbit spaces

  • Einbettungssätze für Dekompositions-Räume mit Anwendungen auf Wavelet-Coorbit-Räume

Voigtlaender, Felix; Führ, Hartmut (Thesis advisor); Feichtinger, Hans G. (Thesis advisor); Rauhut, Holger (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2016)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Kurzfassung

Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Entwicklung von Kriterien für die (nicht)-Existenz von Einbettungen zwischen Dekompositionsräumen.Ein Dekompositionsraum ist hierbei definiert über- eine Überdeckung $\mathcal{Q}=(Q_{i})_{i\in I}$ des Frequenzraumes $\mathbb{R}^{d}$,- einen Integrabilitätsexponenten $p$ und- einen diskreten Folgenraum $Y$ auf der Indexmenge $I$. Zur Berechnung der Dekompositionsraum-Norm einer Distribution $f$ zerlegt man $f$ auf der Fourierseite gemäß der Überdeckung $\mathcal{Q}$ (mittels einer zugehörigen Zerlegung der Eins). Die einzelnen Teile werden in $L^{p}$ gemessen und die Gesamt-Norm ergibt sich durch Zusammenfassen aller einzelnen Normen mittels des Folgenraumes $Y$.Falls zwei verschiedene Dekompositionsräume gegeben sind, stellt sich die Frage, ob eine Einbettung zwischen diesen existiert. Da beide Räume nur über die zugehörigen Überdeckungen, Gewichte und Integrabilitätsexponenten definiert sind, sollte es möglich sein, die Existenz der Einbettung nur anhand dieser Größen zu entscheiden. Wir werden nicht nur sehen, dass dies tatsächlich möglich ist, sondern auch, dass für die Anwendung der sich ergebenden Kriterien nur diskrete, kombinatorische Überlegungen nötig sind; insbesondere benötigt man keinerlei Wissen über Fourieranalysis. Weiterhin bemerken wir, dass unsere Resultate - unter milden Annahmen an die Überdeckungen und Folgenräume - eine äquivalente Bedingung für die Existenz der jeweiligen Einbettung geben; die Existenz der Einbettung wird also komplett charakterisiert.Als Anwendung diskutieren wir unter anderem die Existenz von Einbettungen zwischen- $\alpha$-Modulations Räumen,- homogenen und inhomogenen Besovräumen und- Coorbit-Räumen vom Shearlet-Typ. Wir werden sehen, dass in jedem dieser Fälle die existierenden Resultate Spezialfälle unserer neuen Kriterien sind. In vielen Fällen liefern die neuen Kriterien sogar stärkere Aussagen als die bisher bekannten. Die Behandlung der Einbettungen für Coorbit-Räume vom Shearlet-Typ wird durch das zweite Hauptergebnis der Arbeit möglich. Konkret werden wir sehen, dass die Fouriertransformation einen Isomorphismus zwischen einer großen Klasse von Wavelet Coorbit-Räumen und gewissen Dekompositionsräumen liefert. Damit sind unsere Kriterien für Einbettungen zwischen Dekompositionsräumen auch auf Wavelet Coorbit-Räume anwendbar.

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