Reduced basis for nonlinear diffusion equations

Rasty, Mohammad; Grepl, Martin Alexander (Thesis advisor); Herty, Michael Matthias (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Die Reduzierte-Basis-Methode (RBM) ist ein Modellreduktionsverfahren für das Lösen von parametrisierten partiellen Differentialgleichungen durch das Reduzieren der Dimension des Ausgangsproblems. Die Essenz der RBM ist das Aufspalten des Rechenprozesses in zwei Phasen: Die Offline- und die Online-Phase. In der Offline-Phase, die bloß einmal ausgeführt wird, wird die reduzierte Basis erstellt und für die Online-Phase nötige Informationen werden berechnet und gespeichert.In der Online-Phase wird die parametrizierte Differentialgleichung sehr effizient gelöst durch das Benutzen der Daten aus der Offline-Phase. In dieser Arbeit erweitern wir die RBM um diese auch auf nichtlineare Diffusion anzuwenden. Zuerst betrachten wir elliptische und parabolische quadratisch nichtlineare Diffusionsgleichungen. Im elliptischen Fall basiert die Reduzierte-Basis-Approximation auf einer Galerkin-Projektion und dann wird die Brezzi-Rappaz-Raviart (BRR) Theorie benutzt um rigorose a posteriori Fehlerschranken herzuleiten. Danach erweitern wir diese Ergebnisse auf den parabolischen Fall durch die Kombination von der BRR Theorie mit der Orts-Zeit-Methode. Wir zeigen, dass die Reduzierte-Basis-Approximation und die zugehörige a posteriori Fehlerschranke durch einen effizienten offline-online Rahmen berechnet werden können; sowohl für den elliptischen als auch parabolischen Fall. Im zweiten Teil der Arbeit betrachten wir nichtlineare Diffusionsgleichungen mit höherer Ordnung. Nichtlinearitäten höherer Ordnung stellen eine zusätzliche Schwierigkeit für Modellreduktionsverfahren dar, weil die Dimensionsreduktion oft keine Berechnungsvorteile bringt.Der Grund dafür liegt in der oft teuren Auswertung der Nichtlinearität, d.h. es existiert keine vollständige Entkopplung der Online-Phase vom hochdimensionalen Problem. Ein möglicher Ansatz dieses Problem zu lösen ist die Empirische-Interpolations-Methode (EIM), die eine interpolierende Approximation der Nichtlinearität liefert mithilfe von vorher berechneten Basisfunktionen. Wieder betrachten wir den Gleichgewichtsfall und den Zeit-abhängigen Fall und entwickeln eine Reduzierte-Basis-Approximation und die zugehörige a posteriori Fehlerschranken für die Nichtlineare Diffusionsgleichungen höherer Ordnung. Wir bemerken, dass, obwohl die EIM eine effiziente offline-online Berechnung ermöglicht, die Fehlerschranken nicht rigoros sein können.

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