Interpolation als Kernidee inner- und außermathematischer Anwendungen : mathematikdidaktische Analyse und Entwicklung von Unterrichtsmaterialien zum Kontext Computeranimation

  • Interpolation as a basic idea of inner- and extra-mathematical applications : didactical analysis and design of teaching materials for computer animation

Peters, Agnes; Heitzer, Johanna Maria (Thesis advisor); Filler, Andreas (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen, 2016

Kurzfassung

Verfahren zur Approximation von Funktionen auf Grundlage diskreter Daten sind sowohl außer- als auch innermathematisch von großer Bedeutung. In außermathematischen Anwendungen sind oftmals nur diskrete Daten gegeben, denen ein unbekannter funktionaler Zusammenhang zugrunde liegt. Innermathematisch werden solche Verfahren verwendet, um komplizierte funktionale Zusammenhänge durch einfachere Näherungsfunktionen zu beschreiben. Mit der Interpolation greift diese Arbeit neben der Regression eines der wichtigsten Teilthemen der Approximation auf. Die Grundidee ist, eine Näherungsfunktion zu bestimmen, die die gegebenen Daten exakt annimmt. Thematisiert werden im Rahmen dieser Arbeit ausschließlich Verfahren, die mit Polynomfunktionen arbeiten wie die Polynom- und Hermite-Interpolation und die Interpolation mit linearen und kubischen Splines sowie kubischen Hermite-Splines. Diese werden in Anwendungen sehr häufig verwendet und stellen einen unmittelbaren Bezug zum Mathematikunterricht her. Inhaltlich knüpft das Thema an die sogenannten Steckbriefaufgaben des Analysisunterrichts an. Neben Gleichungssystemen und Polynomfunktionen gehört dabei vor allem der Ableitungsbegriff zum relevanten mathematischen Handwerkszeug. Darüber hinaus macht insbesondere die anwendungsorientierte Perspektive, die bei Interpolationsproblemen stets eine große Rolle spielt, das Thema für den Mathematikunterricht interessant. Die Behandlung realistischer Anwendungen trägt zu einem umfassenden Bild der Mathematik bei. Aus diesem Grund ist sie in den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz fest verankert. Problematisch ist dabei jedoch, dass es an authentischen, auf Schülerniveau zugänglichen Anwendungen mangelt. In den gängigen anwendungsorientierten Aufgaben des Analysisunterrichts sind zudem, anders als in realen Anwendungen, meist konkrete Funktionen vorgegeben, deren Modellcharakter jedoch nur selten thematisiert wird. Ziel dieser Arbeit ist es deshalb, das Potential des Themas Interpolation für den Mathematikunterricht im Hinblick auf die Vermittlung eines adäquaten Bildes der Mathematik und ihrer Anwendungen aufzuzeigen. Darüber hinaus soll dem Mathematikunterricht mit der Animationstechnik Keyframing ein realistisches und neues Anwendungsfeld zugänglich gemacht werden. Kernidee dieser Technik ist die Interpolation der vielen für eine Animation notwendigen Einzelbilder auf Grundlage weniger Schlüsselbilder. Als interdisziplinäres Anwendungsfeld der Mathematik, Informatik, Physik und Kunst sowie durch den unmittelbaren Bezug zu den Alltagserfahrungen der Schülerinnen und Schüler ist das Keyframing als Unterrichtsgegenstand authentisch, anschaulich und motivierend. Zur Beschreibung der Bewegung von Objekten verwendet man sinnvollerweise Kurven und ihre Parameterdarstellungen, die jedem Zeitpunkt die Position des Objekts zuordnen. Der Kontext motiviert somit die Auseinandersetzung mit Kurven und Parameterdarstellungen und unterstützt neben der statischen vor allem die dynamische Sichtweise auf den Kurvenbegriff. Insgesamt werden dadurch mit dem Funktions- und Ableitungsbegriff auf der einen Seite und Parameterdarstellungen und Gleichungssystemen auf der anderen Seite zentrale Themen der Analysis und linearen Algebra bzw. analytischen Geometrie miteinander vernetzt. Mit Blick auf den Mathematikunterricht wird in dieser Dissertation das relevante, mathematische Hintergrundwissen für Lehrkräfte dargestellt. Basierend auf den Erfahrungen aus Schülerworkshops an der RWTH Aachen werden vor diesem Hintergrund Vorschläge und Materialien zur Behandlung des Themas Keyframing vorgestellt. Dabei werden mögliche Herangehensweisen und Schwerpunkte, vor allem aber konkrete Aufgabenstellungen und Beispiele aufgezeigt. Zum Erkunden der mathematischen Zusammenhänge wurden zudem GeoGebra- und Python-Dateien erstellt. Besonders motivierend ist für Schülerinnen und Schüler, dass sie das Erlernte in Programmen wie Synfig, einem 2D-Animationsprogramm, umsetzen können.

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