Sampling-Strategien zur Approximation hochdimensionaler Tensoren im hierarchischen Niedrigrangformat

• Sampling strategies for high-dimensional tensor approximation in hierarchical low rank format

Kluge, Melanie; Grasedyck, Lars (Thesis advisor); Schneider, Reinhold (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen, 2016

Kurzfassung

Tensoren treten bspw. bei der Beobachtung physikalischer Phänomene über Messreihen oder bei der Diskretisierung multivariater Funktionen auf. Dabei kann das Phänomen zeitabhängig, wie bei Wetterdaten, oder die multivariate Funktion in ihrer Auswertung sehr teuer, wie im Fall großer vollbesetzter Gleichungssysteme zur Lösung einer partiellen Differentialgleichung, sein. Diese unterschiedlichen Ausgangssituationen stellen verschiedene Bedingungen an die Generierung der Tensoreinträge, die sich in drei Gruppen einteilen lassen. In dieser Arbeit stellen wir für die Approximation von hochdimensionalen Tensoren drei verschiedene Strategie vor, die für eine der drei Ausgangssituationen des Tensors eine Auswahl geeigneter Tensoreinträgen angibt. Mit Hilfe dieser Auswahl an Einträgen berechnet eine von uns entwickelte Berechnungsvorschrift, die Tensor-Kreuzapproximation, eine Approximation im hierarchischen Format. Diese hat einerseits einen wesentlich geringeren Speicheraufwand als der Originaltensor und kann andererseits für weitere Berechnungen und Auswertungen als Annäherung verwendet werden.Wir untersuchen ausführlich wie die Veränderung der vorkommenden Variablen, des Tensors und der Strategie, die Approximation beeinflussen, und zeigen daraus ableitend die Stärken und Schwächen jeder Strategie auf. Dabei schauen wir auch über den Rand unserer Berechnungsvorschrift hinaus, indem wir verschiedene Optimierungsverfahren zum Vergleich heranziehen.Alle Untersuchungen und Beobachtungen vereinen sich in einer Empfehlung, wann welches Verfahren mit welcher Strategie am besten geeignet ist und wie man die Stärke der gewählten Strategie am besten nutzen kann.

Einrichtungen

• Lehr- und Forschungsgebiet Numerische Analysis [111620]
• Fachgruppe Mathematik [110000]