A variational formulation of a floating body

• Eine variationelle Formulierung eines schwimmenden Körpers

Roth, Magdalena Maria; Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2010)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2010

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir eine zweidimensionale Strömung mit einem schwimmenden Körper mit Hilfe variationeller Methoden. Wir betrachten eine wirbelfreie Strömung einer nicht-viskosen, homogenen und inkompressiblen Flüssigkeit in einem endlichen Strömungsgebiet unter dem Einfluss der Schwerkraft und der Oberflächenspannung. Dabei wollen wir die Existenz von 2R-periodischen Wellen zeigen, die sich mit einer konstanten Wellengeschwindigkeit c von links nach rechts ausbreiten ohne ihre Form zu ändern. Der schwimmende Körper ist in dieser Arbeit immer ein Ball, der sich ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit c bewegt. Wir nehmen an, dass sowohl das Wellenprofil, das als Graph einer Funktion gegeben sein soll, als auch das Geschwindigkeitspotential, welches aufgrund der Wirbelfreiheit existiert, stationär bezüglich eines sich mitbewegenden Koordinatensystems sind, so dass wir uns auf ein zeitunabhängiges Problem zurückziehen können. Wir betrachten das zugehörige Energie-Funktional, welches aus der Kinetischen und der Potentiellen Energie der Flüssigkeit, der potentiellen Energie des Körpers, der Energie aufgrund der Oberflächenspannungskräfte, bzw. der Adhäsionskräfte am Körper besteht und vom Geschwindigkeitspotential, dem Wellenprofil und der Lage des schwimmenden Körpers, charakterisiert durch den Mittelpunkt, abhängt. Darüber hinaus nehmen wir an, dass das Volumen der Flüssigkeit konstant ist und formulieren das gegebene Problem als ein Hindernisproblem. Wir beginnen mit einem kurzen Überblick über den physikalischen Hintergrund des Problems und leiten das Energie-Funktional her, welches wir dann untersuchen wollen. Zunächst widmen wir uns dem Fall, dass keine Kinetische Energie vorhanden ist, dies entspricht dem Statischen Fall. In einem geeigneten Raum zeigen wir die Existenz eines Minimieres des Funktionals. Indem wir die Isoperimetrische Ungleichung benutzen, können wir zudem zeigen, dass die Kontaktmenge, also die benetzte Fläche am Körper, aus endlich vielen Komponenten besteht. Im nächsten Schritt berechnen wir dann die Euler-Lagrange Gleichungen, welche uns u.a. die Kontaktwinkel zwischen Körper und Flüssigkeit liefern. Vernachlässigen wir die Oberflächenspannung können wir das Archimedische Prinzip nachweisen. Wir benutzen unsere Ergebnisse im Statischen Fall, um die Existenz eines Minimieres zu zeigen, wenn auch die Kinetische Energie der Flüssigkeit betrachtet wird. Um zu zeigen, dass die Kontaktmenge zwischen Körper und Flüssigkeit auch in diesem Fall aus endlichen vielen Komponenten besteht, verwenden wir ein Integrabilitätsresultat von Mitrea und Mayboroda im Zusammenhang mit dem Neunmann Problem in Lipschitz Gebieten und können so das im Statischen Fall gezeigte Resultat übertragen. Tatsächlich können wir zeigen, dass der Minimierer eine schwache Lösung des zu untersuchenden Problems ist.