Der methodische Einsatz von MÖBIUS-Transformationen über den Quaternionen in der Geometrie des Raumes

• The methodic application of Möbius transformations over the quaternions in geometry of three dimensional space

Hermanns, Wencke; Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2007)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2007

Kurzfassung

In der ebenen euklidischen Geometrie kann man sich wegen der Isomorphie $R^2cong C$ die (analytischen) Eigenschaften der komplexen Zahlen zunutze machen. Wegen der Isomorphien $R^4cong h$ und $R^3cong Imh$ liegt es daher nahe, eine analoge Herangehensweise an geometrische Problemstellungen des Raumes zu versuchen und f"ur diese die (analytischen) Eigenschaften der Hamiltonschen Quaternionen $h$ nutzbar zu machen. Begonnen wird daher mit einer allgemeinen, elementaren Einführung in die Eigenschaften des Schiefkörpers $h$ und einer Motivation des durch Hinzunahme des Punktes $infty$ kompaktifizierten Quaternionenraums $widehat{h}$ mittels stereographischer Projektion. Es wird unter anderem festgestellt, dass zwei Quaternionen aus $h^star$ genau dann konjugiert zueinander sind, wenn ihre Realteile und Beträge übereinstimmen. Unter Verwendung dieser Konjugationseigenschaft und der Schiefkörpereigenschaften von $h$ ist es dann möglich, eine Quaternionengleichung vom Grad 2 der Form $XcX+Xd-aX-b=0$, mit $a,b,c,dinh$, $ceq 0$ und $b-ac^{-1}deq 0$, wobei $X$ die Unbestimmte bezeichnet, stark zu vereinfachen und schließlich die Aussage zu treffen, dass eine Gleichung dieser Form immer eine Lösung in $h$ hat. Die Existenz einer Lösung dieser Gleichung wird mit elementaren mathematischen Methoden begründet und teilweise auch eine Aussage über Gestalt und Anzahl der Lösungen getroffen. Daran schließen sich Grundlagen einer Geometrie in $widehat{h}$ und $Imwidehat{h}$ an. Unter anderem wird der Umkreismittelpunkt dreier Punkte aus $Imh$ sowie der Umkugelmittelpunkt und -radius eines Tetraeders in $Imwidehat{h}$ angegeben. Die konkrete Darstellung dieser Größen wird benötigt, um später die Tetraeder- und Parallelenversion des Satzes von Roberts mithilfe von Stetigkeitsargumenten verallgemeinern zu können. Hierfür ist auch die Einführung der Potenz eines Punktes bzgl. einer Kugel sowie der Potenzebenen, -geraden und des Potenzpunktes hilfreich. Im Folgenden werden Möbius-Transformationen auf $widehat{h}$ eingeführt und ihre Eigenschaften charakterisiert; z.B. ergibt sich die Isomorphie der Gruppe $M$ der Möbius-Transformationen und der projektiven linearen Gruppe $mathrm{PGL}_2(h)=GL(2;h)/left(R^starcdot Eight)$. Zudem bilden Möbius-Transformationen Hyperebenen und 3-Sphären aus $widehat{h}$ wieder auf Hyperebenen oder 3-Sphären in $widehat{h}$ ab. Danach werden die Möbius-Transformationen bestimmt, die den erweiterten Imaginärraum $Imwidehat{h}$ wieder in sich selbst überführen, da diese später auf den Satz von Roberts angewendet werden. Es wird ${MinGL(2; h);, phi_M(Imwh)=Imwh}=R^starcdotP$ mit $P = {Minmat(2;h);, MQoverline{M}^t=Q} dot{cup} {Minmat(2;h);, MQoverline{M}^t=-Q}= P_+dot{cup} , P_-$ und $Q=egin{pmatrix} 0 & 1\ 1 & 0 end{pmatrix}in GL (2;h)$ bewiesen. Mit dieser Charakterisierung werden dann unter diesen Transformationen diejenigen bestimmt, die die 2-Sphäre $S^2$ wieder auf sich abbilden. Danach steht das Fixpunkt- und Iterationsverhalten der Möbius-Transformationen von $Imwidehat{h}$ nach $Imwidehat{h}$ im Vordergrund: Es wird festgestellt, dass diese Möbius-Transformationen nur unter bestimmten Bedingungen Fixpunkte in $Imwidehat{h}$ haben. Da sowohl das Fixpunkt- als auch das Iterationsverhalten invariant unter Konjugation sind, werden das Fixpunkt- und Iterationsverhalten der Möbius-Transformationenvon $Imwidehat{h}$ nach $Imwidehat{h}$ charakterisiert, indem einfache Konjugationsklassenvertreter angegeben und deren Fixpunkt- und Iterationsverhalten untersucht wird. June Lester hat in mehreren Veröffentlichungen die Theorie der Doppelverhältnisse in der erweiterten komplexen Zahlenebene entwickelt und sie für die euklidische Geometrie der Ebene nutzbar gemacht. Sie beweist zahlreiche Identitäten für das Doppelverhältnis, beschäftigt sich schwerpunktmäßig aber mit seinen geometrischen Eigenschaften. Ein ähnliches Ziel wird anschließend angestrebt: Das Doppelverhältnis vierer paarweise verschiedener Punkte aus $widehat{h}$ wird definiert und elementare Eigenschaften dieses Doppelverhältnisses hergeleitet. Da die Quaternionen $h$ einen Schiefköper bilden, also die Multiplikation nicht kommutativ ist, kann das Doppelverhältnis auf $widehat{h}$ nicht wie bei Lester definiert werden, sondern man muss auf Konjugationsklassen übergehen. Es werden unter anderem Beziehungen zwischen Möbius-Transformationen und Doppelverhältnissen hergestellt: Es wird z.B. bewiesen, dass Doppelverhältnisse invariant unter Möbius-Transformationen sind und dass zu vier jeweils paarweise verschiedenen Punkten $q_1,q_2,q_3,q_4inwidehat{h}$ und $w_1,w_2,w_3,w_4inwidehat{h}$ genau dann eine Möbius-Transformation, die jeweils $q_n$ auf $w_n$ f"ur $1leq n leq 4$ abbildet, existiert, wenn die Doppelverhältnisse $[q_1,q_2,q_3,q_4]$ und $[w_1,w_2,w_3,w_4]$ übereinstimmen. Weiterhin werden geometrische Eigenschaften des Doppelverhältnisses betrachtet. Es gelingt beispielsweise, Bedingungen dafür anzugeben, dass vier paarweise verschiedene Punkte aus $widehat{h}$ auf einem Kreis oder einer Gerade liegen und dass drei nicht-kollineare Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Im Folgenden wird sowohl die Dreiecks- als auch die Parallelenversion des Satzes von Miquels in beliebige Ebenen des erweiterten Imaginärraums $Imwidehat{h}$ bewiesen. Zudem werden die ebenen Versionen des Satzes von Miquel auf Schnittbedingungen auf beliebigen 2-Sphären aus $Imwidehat{h}$ übertragen. Die diversen Versionen des Satzes von Miquel werden für den Beweis des Satzes von Roberts benötigt. Am Ende dieser Arbeit werden in Anlehnung an Nathan Altshiller-Court die Tetraeder- und Parallelenversion des Satzes von Roberts bewiesen und beide durch Heranziehen von Stetigkeitsargumenten verallgemeinert. Anschließend werden sowohl auf die Tetraeder- als auch auf die Parallelenversion dieses Satzes Möbius-Transformationen angewandt und auf diese Weise neue Schnittpunktsätze erhalten. Neben den gezeigten Beispielen sind noch viele andere Transformationen des Satzes denkbar. Die Anwendung von Möbius-Transformationen sollte auch bei anderen Schnittpunktsätzen für Geraden, Kreise, Ebenen und Kugeln aus $R^3$ bzw. $Imwidehat{h}$ neue Schnittpunktsätze generieren und sich so als flexibles Werkzeug der räumlichen Geometrie erweisen.