Wechselwirkung von Populationen in einem begrenzten Lebensraum : Modellierung, Simulation und mathematische Analyse im Unterricht

  • Interacting populations in a restricted habitat : modelling, simulation and mathematical analysis in class

Roeckerath, Christina; Walcher, Sebastian (Thesis advisor)

Aachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University (2010, 2011)
Doktorarbeit

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2010

Kurzfassung

Mathematik hat aufgrund ihrer praktischen Nutzbarkeit für viele Wissenschaften eine wesentliche Bedeutung. Durch mathematische Modellierung und Simulation lassen sich kostengünstige und effiziente Lösungen erzielen. Darüber hinaus können geeignete mathematische Modelle anwendungsbezogenes und sinnstiftendes Unterrichtsmaterial darstellen, welches Fachwissen und Realität in Zusammenhang setzt. Man ist sich daher in der fachdidaktischen Diskussion einig darüber, dass die Behandlung von Modellen einen festen Platz im Unterricht einnehmen sollte. Zu Recht hat das Thema Einzug in deutsche Lehrpläne gehalten. So ist Modellieren in Nordrhein-Westfalen als eine von vier prozessbezogenen Kompetenzen, die Schüler der Sekundarstufe I beherrschen sollten, im Kernlehrplan Mathematik verankert. Trotz dieser didaktischen und curricularen Forderungen gibt es bislang wenig Unterrichtsmaterial, welches sich mit authentischen Modellen befasst und somit ein realistisches Bild von Modellierung vermitteln könnte. Im Rahmen der Arbeit wird ein authentisches Modell der Theoretischen Biologie, welches auf aktuellen Forschungsergebnissen von Johansson und Sumpter (2003) beruht, vorgestellt. Es handelt sich um ein einfaches, stochastisches Konzeptmodell, in dem die Entwicklung von Systemen zweier Populationen unter Einbeziehung verschiedener intra- und interspezifischer Wechselbeziehungen, wie Interferenz- und Ausbeutungskonkurrenz, Räuber-Beute, Symbiose oder Parasitismus, abgebildet wird. Ziel der Dissertation ist es, einen Zugang für Schüler und Studenten ausgehend von den mathematischen Inhalten des (nordrhein-westfälischen) Abiturs zu entwickeln. Dazu wurde das Modell didaktisch aufgearbeitet und für eine komfortable Nutzung in einer Simulationssoftware umgesetzt. Die Software erlaubt Simulationen der Populationsentwicklungen und stellt diese über Generationen hinweg anschaulich dar. Darüber hinaus wird ein Werkzeug angeboten, welches die Herleitung von Differenzengleichungen zur mathematischen Beschreibung der erwarteten Populationsentwicklungen mit elementaren Mitteln ermöglicht. Dabei wird das in der Simulationssoftware umgesetzte stochastische Modell mit einem gewissen Informationsverlust in ein deterministisches Modell in Form von Differenzengleichungen überführt. Sowohl durch Simulationen anhand der Software als auch durch mathematische Analysen an den Differenzengleichungen können diverse bekannte, ökologische Phänomene, wie zum Beispiel die Koexistenz zweier Populationen, das Konkurrenz-Ausschluss Prinzip oder der Allee-Effekt, entdeckt werden. Die Arbeit richtet sich in erster Linie an mathematisch oder biologisch interessierte Schüler bzw. Studenten wie auch an Lehrer von Schule und Hochschule, die die Vermittlung eines realistischen und authentischen Bildes von Modellierung anstreben. Der erste Teil der Arbeit wurde für Lehrer geschrieben und dient der Vermittlung von Überblicks- und Hintergrundwissen zum Thema. Neben einer Vorstellung des behandelten Modells und der Simulationssoftware, liefert er eine didaktische Einbettung und beleuchtet biologische und mathematische Hintergründe zu den Materialien. Im zweiten Teil soll Schülern ermöglicht werden, das Modell eigenständig im Selbststudium kennen zu lernen und mit ihm entdeckend und kreativ zu arbeiten. Es wird anhand von Aufgaben, Experimentieranleitungen und exemplarischen Lösungen zur aktiven Auseinandersetzung mit der Thematik aufgefordert. Auf diese Weise werden die Schüler angeregt, sowohl mit der Software Simulationen durchzuführen als auch Differenzengleichungen zur Beschreibung der Populationsentwicklungen herzuleiten. Der Teil III stellt eine Fortführung des zweiten Teils dar und richtet sich ebenfalls in erster Linie an Schüler. Wieder werden sie anhand von konkreten Aufgabenstellungen und exemplarischen Lösungen durch die Thematik geführt. Dabei werden sie zur Untersuchung einiger der hergeleiteten Differenzengleichungen mit klassischen Methoden der Schulmathematik, wie zum Beispiel Kurvendiskussionen und Termumformungen, aufgefordert. Eine biologische Interpretation der erzielten Ergebnisse führt zur Entdeckung von bekannten ökologischen Phänomenen. Teile der im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Unterrichtsmaterialien wurden mit Oberstufenschülern getestet. Die Erprobung geschah im Rahmen einer Sommerschule an der RWTH Aachen und einer Modellierungswoche des Felix-Klein-Zentrums für Mathematik. Im vierten Teil dieser Arbeit, der sich somit wieder vornehmlich an Lehrer richtet, werden die Erfahrungen aus diesen Unterrichtseinsätzen und die Rückmeldungen aus den Schülergruppen vorgestellt.

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