Mathematical modeling and numerical methods for non-classical transport in correlated media

  • Mathematische Modellierung und numerische Methoden für nichtklassischen Transport in korrelierten Medien

Krycki, Kai; Frank, Martin (Thesis advisor); Turpault, Rodolphe (Thesis advisor)

Aachen (2015, 2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen, 2015

Kurzfassung

In dieser Arbeit untersuchen wir eine neue und nichtklassische lineare Transportgleichung für den Transport von Teilchen in korrelierten Medien. Wir leiten eine zeitabhängige nichtklassische Transportgleichung her, die beliebige Pfadlängenverteilungen reproduzieren kann, im Gegensatz zur klassischen Theorie. Diese Gleichung beschreibt die Evolution der Verteilungsfunktion der Teilchen im Boltzmann-Grad Limes. Die rigorose mathematische Herleitung basiert auf Resultaten über das periodische Lorentz Gas und beruht auf einem analytischen Ausdruck für die Pfadlängenverteilung im Limes. Die Distanz s zur nächsten Kollision ist ein zusätzlicher unabhängiger Parameter der resultierenden Gleichung. Eine Monte-Carlo Studie von Pfadlängenverteilungen in homogenen aber korrelierten Medien zeigt, dass diese Gleichung auch für allgemeinere Klassen von korrelieren Medien Gültigkeit besitzt. Wir diskutieren Verallgemeinerungen dieser Gleichung und die Verbindung zu einer weiteren nicht-klassischen steady-state Transportgleichung.Im Weiteren entwickeln wir numerische Methoden für diese nicht-klassische Transportgleichung. Dazu untersuchen wir eine Variante eines Standard Finite Volumen HLL Verfahrens für Momentenmodelle dieser Gleichung. Eine detaillierte numerische Analyse zeigt, dass diese Verfahren den analytischen asymptotischen Diffusionslimes erhalten. Weiterhin erhalten diese Verfahren die konvexe Menge von erlaubten und realisierbaren Mengen. Eine Kopplung des Anfangswertes mit der vollen Lösung legt es nahe, ein iteratives Lösungsverfahren zu benutzen. Da das naive Source Iteration Verfahren im von Streuung dominierten Bereich beliebig langsam wird, nutzen wir ein sogenanntes Diffusion Synthetic Acceleration Verfahren, basierend auf der Diffusionsapproximation der nicht-klassischen Gleichung. Wir untersuchen die Kontraktionsraten mittels einer von Neumann Analyse der vollen Gleichung und der zugehörigen Momentenmodelle. Diese Analyse zeigt, dass die Kontraktion wesentlich beschleunigt werden kann.Mithilfe der akkuraten und effizienten numerischen Methoden entwickeln wir ein Verfahren zur Lösung inverser Probleme, die auf der nichtklassischen Transportgleichung basieren. Dazu formulieren wir das Problem der Parameterschätzung als ein optimales Kontrollproblem und leiten mittels des Lagrange Formalismus ein Optimalitätssystem erster Ordnung her. Dieser Formalismus basiert auf dem Kalkül der Adjungierten. Daher leiten wir die adjungierte Gleichung der nichtklassischen Transportgleichung formell her.Dann adaptieren wir die numerischen Verfahren um das Optimalitätssystem erster Ordnung zu diskretisieren. Weiterhin zeigen wir, dass diese Verfahren konsistent mit dem zugrundeliegenden diskreten Optimalitätssystem sind. Das Optimalitätssystem wird numerisch gelöst mittels eines Gradientenverfahrens. Die Ergebnisse zeigen, dass die Parameter akkurat rekonstruiert werden können mit einem vergleichbar geringen Rechenaufwand.

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