A framework for some distinguished series of orthogonal type modular forms

• Konstruktionen für einige ausgezeichnete Serien von Modulformen zu orthogonalen Gruppen

Woitalla, Martin; Krieg, Aloys (Thesis advisor); Gritsenko, Valery (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen, 2016

Kurzfassung

In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit Modulformen zu orthogonalen Gruppen. Wir betrachten jene Gitter, welche sich darstellen lassen als orthogonale Summe zweier ganzzahliger hyperbolischer Ebenen und eines negativ definiten geraden Gitters. Die Modulgruppen sind hier gerade die Untergruppen von endlichem Index von derjenigen Gruppe, die sich als Schnitt der Gitterautomorphismen mit den Elementen der reellen orthogonalen Gruppe ergibt, welche die Spinornorm eins haben. Die zugehörigen Modulformen sind auf einem Hermiteschen Bereich definiert. In Cartan’s Klassifizierung homogener Bereiche ist dieser vom Typ IV. Die graduierten Ringe Siegelscher, Hermitescher und quaternionischer Modulformen vom Grade 2 sind in Arbeiten von Igusa, Freitag und Krieg bestimmt worden. Auf Grund einiger exzeptioneller Isogenien reihen sich diese Fälle in unsere Konfiguration ein. Im Jahre 2010 entdeckte Gritsenko drei Serien von Modulformen zu orthogonalen Gruppen mit besonders einfachen Divisoren. In dieser Arbeit knüpfen wir an Gritsenkos Konstuktion an und entwickeln einen Apparat, mit dem sich Modulformen zu verschiedenen Serien von Gittern konstruieren lassen. Im Gegensatz zu früheren Ansätzen leiten wir unsere Konstruktionen direkt aus der Geometrie des zugrunde liegenden Wurzelsystems ab. Damit sind wir in der Lage Erzeuger für die entsprechenden graduierten Ringe der Modulformen anzugeben. Es stellt sich heraus, dass dieses Vorgehen einfache und intrinsische Koordinaten produziert. Wir behandeln eine Serie von Modulformen detailliert mit unseren Methoden. Schließlich deuten wir an, wie unsere Methoden in anderen Fällen zur Anwendung gebracht werden können.

Einrichtungen

• Lehrstuhl A für Mathematik [114110]
• Fachgruppe Mathematik [110000]