Hecke operators for algebraic modular forms

Schönnenbeck, Sebastian; Nebe, Gabriele (Thesis advisor); Hartmann, Julia (Thesis advisor); Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Aachen (2016) [Doktorarbeit]

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Kurzfassung

Es sei $k$ ein total reeller Zahlkörper, $\hat{k}$ der zugehörige Ring der endlichen Adele und $\mathbb{G}$ eine zusammenhängende, halbeinfache, linear algebraische Gruppe über $k$ mit der Eigenschaft, dass $\mathbb{G}(k \otimes \mathbb{R})$ kompakt ist. Im Jahr 1999 stellte Benedict H. Gross fest, dass es in dieser Situation möglich ist, eine Theorie automorpher Formen für $\mathbb{G}$ auf gänzlich algebraischem Wege aufzubauen. Dies führte zu dem Begriff der algebraischen Modulformen.Der Raum der algebraischen Modulformen, welcher von einer offenen, kompakten Untergruppe $K$ von $\mathbb{G}(\hat{k})$ (dem sogenannten Level) und einer irreduziblen Darstellung von $\mathbb{G}(k)$ (dem sogenannten Gewicht) abhängt, ist stets endlich-dimensional und gestattet eine natürliche Operation der Heckealgebra $\mathbb{G}(\hat{k})$ bezüglich $K$. Eines der Hauptprobleme ist nun, diese Operation in gegebenen Beispielen explizit zu bestimmen. Zu Beginn dieser Arbeit wiederholen wir die Theorie ganzer Formen algebraischer Gruppen sowie die Grundlagen der Theorie algebraischer Modulformen und Heckealgebren. Ausserdem beschreiben wir den klassischen algorithmischen Ansatz, um die Operation der Heckealgebra zu bestimmen. Dieser besteht im Zerlegen gewisser $K$-Doppelnebenklassen in Rechtsnebenklassen. Im Anschluss führen wir Verschränkungsoperatoren (im Originaltext "intertwining operators") und Eichlerelemente ein und untersuchen ihr Verhalten. Diese Operatoren sind häufig mit weitaus weniger Aufwand zu berechnen als im klassischen Ansatz und erlauben es, zwei Heckeoperatoren auf einmal zu bestimmen, indem die Adjazenzrelation im euklidischen Gebäude von $\mathbb{G}$ ausgenutzt wird. Die Unteralgebra von $H_K$, welche von den Eichlerelementen erzeugt wird, bezeichnen wir als Eichleralgebra und beweisen, dass es sich für einfach zusammenhängendes $\mathbb{G}$ bei dieser stets um einen Polynomring handelt. Darüber hinaus untersuchen wir, in welchen Fällen die Eichleralgebra bereits mit der vollen Heckealgebra übereinstimmt, also in welchen Fällen die Eichlerelemente die Heckealgebra erzeugen.Zusätzlich zu diesen theoretischen Überlegungen haben wir alle präsentierten Algorithmen für $G_2$ sowie für kompakte Formen symplektischer Gruppen implementiert. Wir beschreiben den nötigen theoretischen Hintergrund bezüglich dieser Gruppen und geben einen Überblick über das Potential unserer Implementierung.Unsere expliziten Berechnungen zu $G_2$ und $\mathrm{Sp}_6$ können genutzt werden, um nach sogenannten Lifts algebraischer Modulformen zu suchen. Wir beschreiben die nötigen Ergebnisse zum Satake-Homomorphismus, bestimmen sein Bild in diesem spezifischen Beispiel, untersuchen, wie mögliche Lifts aussehen sollten und finden einige Beispiele algebraischer Modulformen, welche Lifts zu sein scheinen. Zum Abschluss präsentieren wir alternative Anwendungen unserer Algorithmen auf das Studium $S$-arithmetischer Untergruppen. Namentlich berechnen wir eine freie Auflösung der ganzen Zahlen vermöge der Operation der Gruppe auf dem euklidischen Gebäude und bestimmen eine endliche Menge von Erzeugern zusammen mit einem System definierender Relationen.

Identifikationsnummern

  • URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-067338
  • REPORT NUMBER: RWTH-2016-06733