Controlled and conditioned invariant varieties for polynomial control systems

Schilli, Christian; Zerz, Eva Barbara (Thesis advisor); Walcher, Sebastian (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Das Hauptziel dieser Thesis ist die Verallgemeinerung des Begriffes der „bedingten Regelungsinvarianz von Unterräumen für lineare Kontrollsysteme“, welcher von G. Basile und G. Marro in den späten Sechzigern eingeführt wurde. Dazu behandeln wir hauptsächlich input-affine Kontrollsysteme mit Output, welche über einem kommutativen, multivariaten, polynomiellen Ring mit reellem oder komplexem Grundkörper definiert sind. Eine gegebene Varietät wird „regelungsinvariant“ für ein solches System genannt, falls wir ein Feedbackgesetz finden können, so dass die Varietät invariant für den zugehörigen geschlossenen Regelkreises ist; dies bedeutet, dass alle Trajektorien, deren Anfangswert auf der Varietät liegt, auf dieser für alle Zeiten verbleiben. Wir betrachten verschiedene Ansätze für das Feedbackgesetz: polynomielles und rationales Zustandsfeedback sowie polynomielles und rationales Outputfeedback. Falls wir in der Tat ein Outputfeedback finden können, welches die Varietät invariant für den geschlossenen Regelkreis macht, so nennen wir die Varietät „bedingt regelungsinvariant“.Die vorliegende Arbeit beginnt mit der Legung einer mathematischen Basis, in welcher grundlegende Begriffe und Ergebnisse aus dem Bereich der gewöhnlichen Differentialgleichungen, der algebraischen Geometrie sowie der Theorie von Gröbner Basen gegeben werden. Wir entwickeln computeralgebraische Methoden, zum Beispiel zur Bestimmung der Schnittmenge eines affinen Moduls über einem polynomiellen Ring mit einem freien Modul über einer Unteralgebra dieses Ringes oder eines gebrochenen Moduls mit einem Untervektorraum, welche uns dabei unterstützen, die oben genannten Eigenschaften für ein gegebenes Kontrollsystem und einer Varietät zu überprüfen. Ein wichtiges Objekt im Kontext dieser Thesis ist die Menge aller polynomiellen Vektorfelder, welche eine Varietät als invariante Menge besitzen. Die Elemente dieser Menge nennen wir auch polynomielle Vektorfelder auf der Varietät. In der Tat trägt diese Menge eine Modulstruktur über dem betrachteten Polynomring, wie eine Charakterisierung von Invarianz einer Varietät für ein polynomielles Vektorfeld zeigt, und welche ebenfalls einen algorithmischen Zugang zur Bestimmung eines endlichen Erzeugendensystems des Moduls liefert. Weiterhin untersuchen wir die Struktur diese Moduls: Einige Untermoduln werden bestimmt, Beziehungen zwischen diesen herausgestellt, sowie Bedingungen, unter denen die Untermoduln bereits der gesamten Menge der polynomiellen Vektorfelder auf einer Varietät entsprechen. Ausserdem zeigt sich, dass uns der Modul der polynomiellen Vektorfelder auf einer Varietät helfen kann, unseren Begriff der Invarianz mit einem von A. Isidori in den Neunzigern geprägten Begriff der distributionellen Invarianz zu vergleichen, und um die Invarianz einer Varietät auch für rationale Vektorfelder zu charakterisieren.Von diesem Punkt an ist es leicht eine zur Regelungsinvarianz einer Varietät für polynomielle Kontrollsysteme äquivalenten Bedingung zu finden, welche auf der gegebenen Regelungsmatrix und dem Modul aller polynomiellen Vektorfelder einer Varietät beruht. Wir können Techniken aus der Theorie der Gröbner Basen verwenden, um diese Bedingung zu überprüfen, und, falls diese erfüllt ist, die Menge aller polynomiellen Zustandsfeedbacks bestimmen, welche die Varietät invariant machen. Es zeigt sich, dass diese Menge einen affinen Modul über dem polynomiellen Ring beschreibt. Um nun bedingte Regelungsinvarianz nachzuweisen, müssen wir zeigen, dass die Schnittmenge dieses affinen Moduls mit einem freien Modul über der Unteralgebra, welcher von den einzelnen Komponenten des Outputs erzeugt wird, nicht leer ist. Die oben erwähnten Algorithmen können diesen Nachweis erbringen. Ähnliche Überlegungen führen zu Methoden, welche über die (bedingte) Regelungsinvarianz für rationale Kontrollsysteme mit rationalem Zustands- oder Outputfeedback entscheiden können.

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