Certified reduced basis methods for parametrized PDE-constrained optimization problems

• Reduzierte-Basis-Methoden für parametrisierte Optimierungsprobleme mit PDG-Nebenbedingungen

Kärcher, Mark; Grepl, Martin Alexander (Thesis advisor); Volkwein, Stefan (Thesis advisor); Reusken, Arnold (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

Wir präsentieren einen Ansatz für die effiziente und zuverlässige Lösung von parametrisierten Optimierungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen (PDG) als Nebenbedingung. Diese Probleme treten auf, wenn man durch PDG beschriebene Systeme auf ein gewünschtes Verhalten hin optimiert. Üblicherweise ist die numerische Lösung dieser Optimierungsprobleme sehr rechenaufwendig, insbesondere wenn man an Lösungen für verschiedene Parameter interessiert ist. Die Reduzierte-Basis-Methode ist eine Technik zur parametrischen Modellreduktion, die sowohl effiziente als auch stabile Näherungslösungen ermöglicht. Zudem liefert sie rigorose Fehlerschranken und ist für viele parametrisierte PDGs elliptischer und parabolischer Natur etabliert. In der vorliegenden Arbeit erweitern wir die Reduzierte-Basis-Methode auf parametrisierte Optimierungsprobleme mit PDG-Nebenbedingungen. Diese Optimierungsprobleme können Parameter in der PDG-Nebenbedingung selbst, aber auch im Zielfunktional (z.B. im gewünschten Zustand oder im Regularisierungsparameter) enthalten. Wir betrachten sowohl elliptische und parabolische Probleme, als auch endlichdimensionale und verteilte Kontrollen. Unsere Methode ist vollständig online-effizient: Sowohl die Online-Berechnungskosten für die Reduzierte-Basis-Approximation als auch die zugehörigen Fehlerschranken sind unabhängig von der hohen Dimension der ursprünglichen Finite-Elemente-Approximation. Stattdessen, hängen sie nur von der Dimension des Reduzierte-Basis-Raums ab. Unsere Approximation verwendet einen gemeinsamen Reduzierte-Basis-Raum für die Zustandsvariable und die adjungierte Variable. Indem wir die Lösungen der Zustandsvariable und der adjungierten Variable in einem einzelnen Reduzierte-Basis-Raum zusammenfassen, garantieren wir sowohl die Konsistenz der Approximationen, als auch die Stabilität des reduzierten Modells. Zusätzlich diskutieren wir eine Reduktion des Kontrollraums für verteilte Kontrollen. Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Herleitung von effizient berechenbaren und rigorosen A-Posteriori-Fehlerschätzern für verschiedene Zielgrößen. Hierzu präsentieren wir zwei Ansätze: Während der erste Ansatz auf einem Perturbationsargument basiert, wird die zweite Schranke direkt aus den Fehler-Residuen-Gleichungen des Optimalitätssystem hergeleitet. Beide Ansätze liefern Schranken für die Fehler in der optimalen Kontrolle, im optimalen Wert des Kostenfunktionals, und im optimalen Zustand und der Adjungierten. Durch die Einführung eines dualen Problems ist es zudem möglich, den Fehler beliebiger Ausgangsfunktionale zu beschränken, die linear vom Zustand, der Adjungierten und der Kontrollvariable abhängen. Jede der von uns präsentierten Schranken ist vollständig offline-online-separabel und kann daher effizient ausgewertet werden. Dies ermöglicht es unseren Ansatz auch bei vielen Parameterauswertungen oder Echtzeitberechnungen anzuwenden. Insbesondere benötigen unsere Schranken lediglich Konstanten (bzw. obere / untere Schranken davon), die mit wenig Aufwand berechnet werden können. Wir präsentieren numerische Ergebnisse für verschiedene parametrisierte Optimierungsprobleme mit PDG-Nebenbedingungen, um die Effektivität unseres Ansatzes zu veranschaulichen.

Einrichtungen

• Aachen Institute for Advanced Study in Computational Engineering Science [080003]
• Lehrstuhl für Numerische Mathematik [111710]
• Fachgruppe Mathematik [110000]