Parallele Verfahren höherer Ordnung zur Lösung von Zweiphasen-Strömungen

• Parallel higher order methods for solving twophase flows

Esser, Patrick; Reusken, Arnold (Thesis advisor); Behr, Marek (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

In der vorliegenden Arbeit stellen wir numerische Methoden zur Berechnung von Zweiphasenströmungen vor. Wert wird hierbei auf die Effizienz dieser Verfahren gelegt: die Verfahren sollen eine hohe Fehlerordnung liefern, sowie auf den aktuell verfügbaren Rechnern schnell Ergebnisse produzieren. Das zu Grunde liegende Modell besteht aus den inkompressiblen zweiphasigen Navier-Stokes Gleichungen, die Phasengrenze wird mit einer Levelset-Technik implizit beschrieben. Die nur an der Phasengrenze wirkende Oberflächenspannung tritt als lokaler singulärer Kraftterm auf.Es werden zwei Schwerpunkte in dieser Arbeit gesetzt: zum einen auf geeignete Zeitdiskretisierungsmethoden, basierend auf schon bekannten $\theta$-Methoden, zum anderen auf die Abbildung der Numerik auf heutige Parallelrechner, beispielhaft an Hand der Ortsdiskretisierung und der Berechnung der auftretenden Gleichungssysteme. Wir werden nach Herleitung der Modellgleichung und einem kurzen Überblick über die Diskretisierung eines stationären Problemes an Hand eines vereinfachten Modellproblems ein geeignetes $\theta$-Verfahren herleiten. Für dieses Verfahren können wir für die Wahl von $\theta=0.5$ in einer passend gewählten schwachen Norm quadratische Fehlerordnung zeigen, die sich auch in den numerischen Experimenten widerspiegelt. Dort sehen wir, dass dieses Ergebnis optimal ist, d.h. in einer stärkeren Norm sehen wir keine quadratische Fehlerordnungen. Die Anwendung dieses Verfahrens auf realistische Problemstellungen, wie zum Beispiel eines Butanoltropfens in Wasser wird ebenfalls gezeigt. Hierbei erhalten wir auch die gewünschten Fehlerordnungen bezüglich der schwachen Norm. Wir präsentieren Modifikationen dieses Verfahrens, die zwar etwas aufwendiger sind, aber sich durch bessere numerische Eigenschaften wie z.B. bessere Stabilität auszeichnen.Wir stellen auch eine Zeitdiskretisierung vor, die auf vierdimensionalen Raum-Zeit Finite-Elemente Methoden basiert. Diese liefert im Vergleich zu den Rothe-Methoden für das vereinfachte Modellproblem ähnliche Ergebnisse, leider weichen diese bei Verwendung der zweiphasigen Navier-Stokes Gleichungen ab, d.h. wir sehen in den Experimenten nur noch erste Ordnung bezüglich der Zeit. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Parallelisierung, bzw. der Anpassung der numerischen Verfahren an die zur Berechnung einer Lösung verwendeten Rechnerarchitekturen. Dazu wurde in Zusammenarbeit mit dem Rechenzentrum der RWTH Aachen zu dem am Lehrstuhl für Numerische Mathematik entwickelten Löser DROPS eine Erweiterung namens DiST (Distributed Simplex Types) entwickelt und implementiert. Die Aufgabe von DiST ist die parallele Verwaltung der verwendeten Simplizes. Mit Hilfe dieser Bibliothek können MPI-parallele Komponenten in DROPS wie zum Beispiel eine effiziente parallele hierarchische adaptive Gitterstruktur oder Löserkomponenten wie Vorkonditionierer implementiert werden. Die hier vorgestellten Konzepte wurden erfolgreich auf einem der aktuell schnellsten Höchstleistungsrechner JUQUEEN angewandt. Dort kann die Skalierbarkeit der entwickelten oder modifizierten Algorithmen bis in den Bereich von mehreren 10k Threads demonstriert werden.Parallel dazu wurden auch Anstrengungen unternommen, außer der distributed memory Parallelisierung die shared memory Parallelisierung ausgewählter Teile auszubauen. Wir werden an Hand einzelner Beispiele die Vor- und Nachteile der einzelnen Ansätze diskutieren und die Skalierbarkeit einzelner Routinen wie z.B. der Assemblierungsroutine zeigen.

Einrichtungen

• Lehrstuhl für Numerische Mathematik [111710]
• Fachgruppe Mathematik [110000]