Reduced basis methods applied to obstacle problems and parametrized distributed optimal control problems with control and state constraints

Bader, Eduard; Veroy-Grepl, Karen Paula (Thesis advisor); Herty, Michael Matthias (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In dieser Arbeit stellen wir neue Reduzierte-Basis-Ansätze für parametrisierte Variationsungleichungen und parametrisierte linear-quadratische optimale Steuerungsprobleme mit Kontroll- und Zustandsbeschränkung vor. Diese Probleme sind schwierig wegen ihrer nichtlinearen Art und, nach ihrer Diskretisierung, normalerweise hohen Anzahl an Freiheitsgraden. Wir behandeln die letzte Schwierigkeit, indem wir die Komplexität des Lösens solcher Probleme durch die Reduzierte-Basis-Methode reduzieren und dadurch sehr kleine Näherungsprobleme erhalten. Sowohl diese kleinen Probleme als auch die zugehörigen Fehlerschranken und Schätzer können günstig gelöst/ausgewertet werden, was eine direkte Kontrolle des Approximationsfehlers ermöglicht. Viele Modelle in Bereich der rechnergestützten Ingenieur- und Naturwissenschaften verlangen wiederholte Auswertungen von Eingabe/Ausgabe Systemen, die durch parameterabhängige partielle Differentialgleichungen beschrieben werden. Eingaben können z.B. Wärmeleitkoeffizienten und Ausgaben z.B. Wärmeverteilungen sein. Die Auswertung dieser Eingabe/Ausgabe-Beziehung ist normalerweise auf teure und iterative Berechnungen angewiesen. Dieser Aufwand macht den Bedarf für schnelle und zuverlässige Reduktionsverfahren offensichtlich.

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