Analyse und asymptotische Analyse von Kompartimentsystemen

• Analysis and asymptotic analysis of compartmental systems

Lax, Christian; Walcher, Sebastian (Thesis advisor); Frank, Martin (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

In dieser Dissertation werden Ergebnisse zu singulär gestörten Systemen von Differentialgleichungen erbracht. Das vorrangige Ziel ist die Berechnung von asymptotischen Reduktionen, sogenannten Tikhonov-Fenichel-Reduktionen, die bei der Analyse der gestörten Systeme helfen und auf den klassischen Arbeiten von Tikhonov und Fenichel basieren.Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil behandelt autonome gewöhnliche Differentialgleichungen und besitzt einen klaren Schwerpunkt in der Modellierung chemischer Reaktionen unter gewissen Quasistationaritätsannahmen. Aufgrund dieser Fokussierung beziehen sich die Resultate vor allem auf rationale und polynomiale Systeme. Aufbauend auf den Doktorarbeiten von Lena Nöthen und Alexandra Goeke werden drei Hauptergebnisse erzielt: Erstens kann der Satz von Hoppensteadt auf Systeme (von gewöhnlichen Differentialgleichungen) übertragen werden, die nicht in Tikhonov-Normalform sind. Außerdem werden die Voraussetzungen des Satzes so umformuliert, dass eine bessere Überprüfbarkeit dieser möglich ist. Zweitens gelingt der Nachweis der Existenz und die Berechnung von Tikhonov-Fenichel-Reduktionen für alle chemischen Reaktionsnetzwerke, für die eine Unterteilung der Reaktionen in schnelle und langsame existiert und der schnelle Anteil aus schwach reversiblen Reaktionen 1. Ordnung besteht. Drittens werden Tikhonov-Fenichel-Reduktionen von Kompartimentsystemen untersucht. Kompartimentsysteme bestehen aus Subsystemen, in denen verschiedene Materialien oder Akteure interagieren und die durch Transport miteinander verbunden sind. Es stellt sich heraus, dass man sich bei der Berechnung der Reduktion von Kompartimentsystemen auf die Subsysteme zurückziehen kann, was eine deutliche Vereinfachung darstellt. Der zweite Teil der Arbeit behandelt asymptotische Reduktionen von Reaktions-Diffusionssystemen. Da der Satz von Tikhonov nur für gewöhnliche Differentialgleichungen gültig ist und kein vergleichbarer Satz für partielle Differentialgleichungen existiert, ist das vornehmliche Ziel die nichttriviale Beantwortung der Frage, wie man einen passenden Kandidaten für eine Reduktion eines Reaktions-Diffusionssystems finden und berechnen kann. Dies gelingt durch eine örtliche Diskretisierung des Reaktions-Diffusionssystems, die eine Rückführung auf die Reduktion von gewöhnlichen Differentialgleichungen (genauer: Kompartimentsystemen) ermöglicht. Der Kandidat wird dabei durch verschiedene Ergebnisse gestützt: So wird gezeigt, dass im gewissen Sinne der von uns vorgeschlagene Reduktionskandidat der einzige sinnvolle Kandidat ist. Darüber hinaus kann für jene Reaktions-Diffusionssysteme ein Konvergenzergebnis erzielt werden, für die die Reaktion von 1. Ordnung ist und der schnelle Anteil dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts genügt. Zuletzt werden Reduktionskandidaten für verschiedene Beispiele berechnet. Dabei stellt sich heraus, dass sich die Resultate mit bestehenden Konvergenzergebnissen aus der Literatur und Ergebnissen selbst durchgeführter numerischer Simulationen decken.

Einrichtungen

• Lehrstuhl A für Mathematik [114110]
• Fachgruppe Mathematik [110000]