Certified reduced basis method for variational inequalities

• Zertifizierte Reduzierte-Basis-Methode für Variationsungleichungen

Zhang, Zhenying; Veroy-Grepl, Karen Paula (Thesis advisor); Herty, Michael Matthias (Thesis advisor)

Aachen (2016)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

In dieser Arbeit werden zertifizierte Reduzierte-Basis-Methoden für Variationsungleichungen erster Art präsentiert. Die vorgeschlagenen Ansätze erlauben uns, Echtzeitlösungen Online effizient mit erheblicher besseren Fehlergrenzen zu berechnen.Die Reduzierte-Basis-Methode wurde in den letzten Jahrzehnten für die schnelle und zuverlässige Modellreduktion für parametrisierte partielle Differentialgleichungen(PDG) entwickelt. Diese Methode wurde gestaltet, um hoch dimensionalen Finite-Elemente Probleme durch niedrigen dimensionalen Ersatz zu approximieren. Zielanwendungen dafür sind die Optimierung, Parameterschätzung, und Steuerung. Einer der vielen Vorteile der Reduzierten-Basis-Methode ist der deutlich niedrigere Rechenaufwand, der eine schnelle Simulation ermöglicht, während die strengen Fehlerschätzer eine quantifizierte Qualitätskontrolle in Bezug auf die hoch dimensionalen Finite-Elemente-Lösungen liefern. Das Verfahren erlaubt daher Entscheidungen der Wissenschaftlern und Ingenieuren in Echtzeit auf der Grundlage verlässlicher Informationen.Basierend auf früherer Forschung schlägt diese Arbeit neue Reduzierte-Basis-Ansätze vor und verbessert die a posteriori Fehlerschätzer in Bezug sowohl auf den Rechenaufwand, als auch auf die Schärfe der Fehlergrenzen. Erstens werden wir abstrakte elliptische Variationsungleichungen in verschiedenen Formen und ihre Finite-Elemente-Annäherungen präsentieren. Zweitens fasst die Arbeit den bestehenden Ansatz zusammen und schlägt neue Reduzierte-Basis-Ansätze und die damit verbundenen Fehlerschätzer vor. Drittens werden die Ansätze gegen verschiedene numerische Modelle validiert und verglichen. Letztendlich erweitern wir Ansätze zu parabolischen Variationsungleichungen.Motiviert durch Anwendungen auf dem Gebiet der Festkörpermechanik, werden die vorgeschlagenen Ansätze auf einige Kontaktprobleme angewendet. Die numerischen Ergebnisse veranschaulichen mehrere Vorteile der vorgeschlagenen Ansätze in der Praxis durch den Vergleich der vorgeschlagenen und den bestehenden Ansätzen.

Einrichtungen

• Aachen Institute for Advanced Study in Computational Engineering Science [080003]
• Lehr- und Forschungsgebiet für Hochleistungsrechnen ingenieurmäßiger Modelle [316320]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [114620]
• Fachgruppe Mathematik [110000]