Models, numerical methods, and uncertainty quantification for radiation therapy

• Modelle, numerische Verfahren und Quantifzierung von Unsicherheiten in der Strahlentherapie

Kuepper, Kerstin; Frank, Martin (Thesis advisor); Herty, Michael Matthias (Thesis advisor); Hauck, Cory D. (Thesis advisor)

Aachen (2016, 2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

Die lineare Boltzmann-Transport-Gleichung beschreibt die Dichte von Teilchen, die sich in einem Hintergrundmedium bewegen. Für diese Gleichung untersuchen wir mehrere numerische Methoden mit dem Fokus auf Anwendungen in der Strahlentherapie. Die größte Herausforderung für das numerische Lösen der Transportgleichung sind die hohe Dimensionalität des Problems, die Integro-Differentialform der Gleichung und die stark variierenden Materialparameter. In dieser Arbeit betrachten wir vier Hauptthemen. Zuerst stellen wir ein numerisches Verfahren für den Elektronentransport vor, welches näherungsweise annimmt, dass die Elektronen kontinuierlich Energie verlieren. Dazu passen wir ein Verfahren zweiter Ordnung für Momentengleichungen bezüglich der Kugelflächenfunktionen der Strahlungstransportgleichung an. Zweitens untersuchen wir das gefilterte Momentensystem (FPN , filtered spherical harmonic), welches das Gibbs Phänomen reduzieren kann. Wir beweisen globale L2-Konvergenzeigenschaften der FPN-Gleichungen und zeigen, wie die Konvergenzraten von der Glätte der Lösung und der Ordnung des Filters abhängen. Drittens erweitern wir ein asymptotisch stabiles (AP, asymptotic preserving) eindimensionales Verfahren auf zwei Raumdimensionen. Aufgrund der geschachtelten Gitter werden für das Verfahren weniger Unbekannte benötigt als man erwarten könnte und das Verfahren führt zu einem kompakten Fünf-Punkt-Stempel im diskreten Diffusionslimes. Darüber hinaus analysieren wir das zugrunde liegende eindimensionale Verfahren und zeigen, dass das Verfahren asymptotisch stabil ist. Schließlich leiten wir basierend auf einer Modellhierarchie ein zweistufiges Samplingverfahren her, um ein stochastisches Kollokationsverfahren zur Quantifizierung von Unsicherheiten zu verbessern. Unser Verfahren verwendet einen hybriden Ansatz, welches ein reduziertes Modell mit einer Korrektur verbindet. Die beiden Modelle werden so kombiniert, dass die verschiedenen Fehlerterme sich balancieren und der gesamte Rechenaufwand minimal wird. Die Resultate der Arbeit sind anhand verschiedener numerischer Beispiele getestet und bestätigt.

Einrichtungen

• Lehrstuhl für Angewandte und Computergestützte Mathematik [115010]
• Fachgruppe Mathematik [110000]