Stochastics meets applied analysis : stochastic Ginzburg-Landau vortices and stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert equation

  • Stochastik trifft angewandte Analysis : stochastische Ginzburg-Landau Wirbel und stochastische Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung

Chugreeva, Olga; Melcher, Christof Erich (Thesis advisor); Westdickenberg, Maria Gabrielle (Thesis advisor)

Aachen (2016, 2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit gehört zu den Gebieten angewandte Analysis und stochastische partielle Differentialgleichungen. Wir untersuchen stochastische Versionen von zwei bekannten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, der Landau-Lifshitz-Gilbert und der Ginzburg-Landau Gleichung.Die ursprünglichen deterministischen Gleichungen haben viele formale Gemeinsamkeiten und werden verwendet, um ähnliche physikalische Phänomene zu beschreiben. Wir betrachten die gemischte Ginzburg-Landau Gleichung als eine “light version” der Landau- Lifshitz-Gilbert Gleichung. Die Gleichungen verhalten sich jedoch schon im deterministischen Fall hinsichtlich der Wohlgestelltheit sehr unterschiedlich. Die Ginzburg-Landau Gleichung hat eine eindeutige reguläre globale Lösung, während für die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung eine reguläre Lösung nur lokal in der Zeit existiert, und schwache Lösun- gen nicht eindeutig sind. Wegen dieses Unterschiedes in den analytischen Eigenschaften sind die Fragen, die wir für diese zwei Gleichungen im stochastischen Fall untersuchen ebenfalls sehr unterschiedlich.Für die stochastische Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung stellt schon die Wohlgestelltheit ein anspruchsvolles Problem dar. Bekannte Techniken liefern eine Lösung, die nicht eindeutig und sowohl analytisch als auch stochastisch schwach ist. In Kapitel 2 setzen wir uns gleichzeitig mit der Uneindeutigkeit der Lösung und der Art der stochastischen Lösbarkeit auseinander. Wir schlagen eine Regularisierung der stochastischen Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung vor, die auch aus physikalischer Sicht sinnvoll ist. Wir zeigen, dass die Lösung der regularisierten Gleichung im stochastisch starkem Sinn existiert und eindeutig ist. Wir konstruieren zuerst eine stochastisch schwache Lösung und zeigen danach, dass diese in stochastisch starkem Sinn eindeutig ist. Dies impliziert die Existenz einer stochastisch starken Lösung.Für die Ginzburg-Landau Gleichung befassen wir uns mit einer spezielleren Frage, nämlich mit der Dynamik der Punktsingularitäten (Wirbel) der Lösung unter dem Einfluss einer zufälligen äußeren Kraft. Unseres Wissens sind wir die ersten die dieses Thema untersuchen. Als Vorbereitung betrachten wir in Kapitel 3 die gemischte Ginzburg-Landau Gleichung mit der deterministischen äußeren Kraft in Form einer konvektiven Ableitung. Für diese Gleichung leiten wir die effektive Bewegungsgleichung der Wirbel her. Die üblichen Methoden, die für Gleichungen vom Ginzburg-Landau Typ entwickelt wurden reichen dafür aus. Somit stellen wir sicher, dass eine äußere Kraft in Form einer konvektiven Ableitung die effektive Bewegungsgleichung beeinflusst, aber nicht zerstört.In Kapitel 4 untersuchen wir die stochastische parabolische Ginzburg-Landau Gleichung mit einem multiplikativen Rauschen, welches wieder die Form einer konvektiven Ableitung hat. Für diese Gleichung weisen wir die Existenz und Eindeutigkeit einer stochastisch starken regulären Lösung nach. Unsere größten Bemühungen sind der Beschreibung von Wirbeln der Lösung gewidmet. Dafür müssen wir zunächst die richtigen stochastischen Varianten von Werkzeugen, die für diese Zwecke in der deterministischen Situation verwendet werden, finden. Unser Hauptergebnis bezieht sich auf die Jacobi Determinanten der Lösung. Wir zeigen, dass die Jacobi Determinanten straff sind und diese die Wirbel korrekt beschreiben, wie es in dem deterministischen Fall auch war. Zusätzlich betrachten wir zwei Speziallfälle. Für verschwindendes Rauschen zeigen wir, dass die reskalierten Energiedichten auf einem gewissen Raum von zeitabhängigen Funktionen straff sind. Die Menge der Grenzwerte entspricht eher den Bahnen der Wirbel als deren Positionen zu einem festen Zeitpunkt. Für räumlich uniformes Rauschen leiten wir die effektive Bewegungsgleichung, die durch ein System stochastischer Differentialgleichungen gegeben ist, her.

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