Mathematical modelling for dose deposition in photontherapy

• Mathematische Modellierung für Dosisablagerung in der Photontherapie

Pichard, Teddy; Frank, Martin (Thesis advisor); Herty, Michael Matthias (Thesis advisor)

Aachen (2016, 2018)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen, 2018. - Dissertation, Université de Bordeaux, 2018

Kurzfassung

Strahlentherapie ist eine der häufigsten Arten von Krebs-behandlungen. Das Verfahren besteht darin, den Patienten mit Strahlen en-ergetischer Pertikel (typischerweise Photonen) zu bestrahlen. Solche Partikelpropagieren durch das Medium und interagieren damit. Insbesondere wird beisolchen Interaktion ein Teil der Energie der Partikel im Medium hinterlegt,dies ist die sogenannte Dosis, die für die biologische Wirkung der Strahlungverantwortlich ist.Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine numerische Methode zur Dosis-berechnung zu entwickeln, die im Vergleich zu Referenzmethoden wie die statis-tischen Monte-Carlo-Methoden oder die empirischen Superposition-Convolution-Methoden, hinsichtlich Rechenkosten und Genauigkeit konkurrenzfähig ist.Diese Partikelbewegung wird durch ein lineares Transportgleichungensys-tem auf kinetischer Ebene untersucht, mit besondere Aufmerksamkeit auf dieBewahrung von Masse, Impuls und Energie.Die erforderliche Rechenleistung, um ein solches System direkt zu lösen,ist in der Regel höher als die Rechenleistung, die in medizinischen Zentrenverfügbar sind. Um diese Kosten zu senken, wird die Momentmethode be-nutzt. Diese besteht darin, die Transportgleichung über eine der Variablenzu mitteln. Ein solches Verfahren führt jedoch zu einem Gleichungssystemmit mehr Unbekannten als Gleichungen. Ein Entropie-Minimierungsverfahrenwird verwendet, um dieses System zu schließen, was zu den sogenannten M N -Modellen führt. Die Momentextraktion bewahrt die Haupteigenschaften deskinetische System wie Hyperbolizität, Entropiezerfall und Realisierbarkeit (Ex-istenz einer positiven Lösung). Allerdings kann die numerische Berechnungder M N Schließung auch zu kostspielig für die Anwendung in der medizinis-chen Physik sein. Außerdem ist es gültig nur unter Bedingung auf die Un-bekannten, genannt Realisierbarkeitbedingung. Die Realisierbarkeitsdomäne,d.h. die Gültigkeitsdomäne der M N -Modellen, wird untersucht. Basierend aufdiesen Ergebnissen werden Approximationen der Entropie-basierten Schließun-gen für den ersten Ordnungen, d.h. die M 1 und die M 2 Schließungen für 3D-Probleme entwickelt, die niedrieger Berechnungskosten erfordern im Vergleichzu Minimierungverfaren Algorithmus.Die resultierende Momentengleichungen sind nichtlinear und gültig unterRealisierbarkeitsbedingunge. Standard numerische Schemata für Momentgle-ichungen sind durch Stabilitätsbedingungen eingeschränkt, die sehr restrik-tiv sind, wenn das Medium Bereiche mit geringe Dichte enthält. NumerischeMethoden angepasst für Momentgleichungen werden entwickelt. Die Nicht-linearität ist durch ein Relaxationsverfahren behandelt, das ursprünglich fürhyperbolische Gleichungssysteme entwickelt war. Darüber hinaus werden be-dingungslose Schemata entwickelt, um das Problem der restriktiven Stabilitäts-bedingungen zu behandeln. Für hyperbolische Gleichungen wird ein erstesexplizites Schema entwickelt, das auf der Charakteristikmethode basiert ist.Ein zweites numerisches Schemata mit impliziten nichtlinearen Flusstermenwird entwickelt. Diese Methoden bewahren die Realisierbarkeitseigenschaftund sind hinsichtlich der Rechenkosten gegenüber Referenzmethode wettbe-werbsfähig.

Einrichtungen

• Lehrstuhl für Angewandte und Computergestützte Mathematik [115010]
• Fachgruppe Mathematik [110000]