Themen der Hecke-Theorie zur orthogonalen Gruppe O(2,n+2)

• Topics of Hecke theory for the orthogonal group O(2,n+2)

Gallenkämper, Jonas; Krieg, Aloys (Thesis advisor); Heim, Bernhard (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Kurzfassung

Sei $t\in \mathbb{N}$ quadratfrei und $S_t:=\left(\begin{smallmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix} \right) \bot \left(\begin{smallmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix} \right) \bot (-2t)$. Wir betrachten $M_t(m):=\{M\in\mathbb{Z}^{5\times 5}; M^{tr}S_tM=m^2S_t\}$, $\Gamma_t:=M_t(1)$ und $\mathcal M_t:=\bigcup_{m\in \mathbb{N}}M_t(m)$. Die Hecke-Algebra $\mathcal H:=\mathcal H (\Gamma_t,\mathcal M_t)$ ist das Tensorprodukt ihrer $p$-primären Komponenten $\mathcal H_{p}:=\mathcal H(\Gamma_t,\bigcup_{k\in\mathbb{N}_0}M_t(p^k))$. Diese $p$-primären Komponenten sind Polynomringe über $\mathbb{Z}$ in $\Gamma_t \operatorname{diag}(1,1,p,p^2,p^2) \Gamma_t,\;\;\Gamma_t \operatorname{diag}(1,p,p,p,p^2) \Gamma_t\;$ und $\;\Gamma_t \operatorname{diag}(p,p,p,p,p) \Gamma_t$, welche algebraisch unabhängig sind.Es ist bekannt, dass die orthogonale Gruppe isomorph zur maximal-diskreten Erweiterung $\Sigma^*_t$ der paramodularen Gruppe $\Sigma_t$ von Grad 2 und Level $t$ ist. Wir übertragen dieses Ergebnis auf die Hecke-Algebra $\widehat{\mathcal H}$ zu $\Sigma_t$.Weiter ist $\Sigma_t$ isomorph zum Diskriminantenkern von $\Gamma_t$. Die entsprechende Hecke-Algebra ist nicht kommutativ, falls $t>1$.Allgemeiner betrachten wir die orthogonale Gruppe $O(2,n+2)$, $n\in\mathbb{N}$, und geben zunächst eine Beschreibung einer Fundamentalmenge der Operation auf dem orthogonalen Halbraum an. Für euklidische $S$, das heißt, für $S$, die einen euklidischen Algorithmus erlauben, erarbeiten wir ein Vertretersystem der Rechts- und Doppelnebenklassen der Ähnlichkeitsmatritzen. Für $\det(S)=1$ können wir sogar die genauen Klassenanzahlen berechnen. Im letzten Kapitel wenden wir uns Anwendungen auf Modulformen und Hecke-Operatoren für euklidische $S$ zu. Es lassen sich bekannte Schranken für Spitzenformen übertragen, die Eisensteinreihen bilden simultane Hecke-Eigenformen. Im Spezialfall $\det(S) = 1$, also insbesondere dem $E_8$ -Gitter, existiert ein Vertauschungsgesetz für den orthogonalen $\Phi$-Operator und den $T (p)$-Operator. Damit können wir zeigen, dass alle Hecke-Eigenformen des $T(p)$-Operatormit nicht verschwindendem nullten Fourier-Koeffizienten bereits Vielfache der Eisenstein-Reihen sind. Die Arbeit schließen wir mit dem Ergebnis ab, dass die $T(p)$-Operatoren in diesem Fall auch selbstadjungiert sind.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl A für Mathematik [114110]