Generalized order statistics : stability and extreme value index estimation

Schmidt, Jacob Peter; Kamps, Udo (Thesis advisor); Cramer, Erhard (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In dieser Doktorarbeit werden verschiedene wahrscheinlichkeitstheoretische und statistische Aspekte der Extremwerttheorie verallgemeinerter Ordnungsstatistiken und Pfeiferscher Rekorde untersucht. Nach einer kurzen Zusammenfassung der klassischen Extremwerttheorie und der Extremwerttheorie für verallgemeinerte Ordnungsstatistiken in Kapitel 2, beschäftigt sich Kapitel 3 mit dem Grenzwertverhalten großer verallgemeinerter Ordnungsstatistiken und Pfeiferscher Rekorde ohne jegliche Standardisierung. Es zeigt sich, dass es Parameterfälle gibt, in denen extreme und intermediäre verallgemeinerte Ordnungsstatistiken gegen den rechten Trägerendpunkt der unterliegenden Verteilungsfunktion konvergieren und, dass es Parameterfälle gibt, in denen andere Grenzwerte auftreten. Ferner wird nochmals das Grenzwertverhalten Pfeiferscher Rekorde betrachtet. Darüber hinaus wird gezeigt, dass für gewisse kleine verallgemeinerte Ordnungsstatistiken der linke Trägerendpunkt der unterliegenden Verteilung als Grenzwert in Frage kommt. In Kapitel 4 werden relative und absolute Stabilität verallgemeinerter Ordungsstatistiken und Pfeiferscher Rekorde untersucht. Basierend auf den Resultaten aus Kapitel 3 erhält man hinreichende Bedingungen für relative und absolute Stabilität extremer und intermediärer verallgemeinerter Ordnungsstatisiken, die auf dem Konzept regulär variierender Funktionen basieren. Zudem werden notwendige und hinreichende Bedingungen für Stabilität in zwei Teilklassen verallgemeinerter Ordnungsstatistiken hergeleitet. Diese sind m-verallgemeinerte Ordungsstatistiken und eine Teilklasse, die gewöhnliche Rekorde in Verteilung enthält. Im zweiten Teil dieses Kapitels wird fast sichere relative Stabilität Pfeiferscher Rekorde betrachtet. Die Extremwertverteilung m-verallgemeinerter Ordungsstatistiken hängt wieder vom klassischen Extremwertindex ab. Deshalb ist man daran interessiert, diesen mit m-verallgemeinerten Ordnungsstatistiken zu schätzen. Bislang gibt es nur einen solchen Schätzer, eine Verallgemeinerung des klassischen Hill Schätzers, der auf positive Werte des Extremwertindexes beschränkt ist. In Kapitel 5 wird eine Verallgemeinerung des Pickands Schätzers, ein Schätzer, der für beliebige Werte des Extremwertindexes anwendbar ist, betrachtet. Den Herleitungen für den klassischen Pickands Schätzer folgend, werden Konsistenz und asymptotische Normalität dieses verallgemeinerten Extremwertindexschätzers gezeigt. Um den Einfluss der Modellparameter auf diese Resultate aufzuzeigen, wird eine Simulationsstudie betrachtet. Weiterhin wird gezeigt, wie aus den Ergebnissen dieses Kapitels ein semiparametrischer Schätzer für den Modellparameter m gewonnen werden kann. Aus Kapitel 3 ist bekannt, dass extreme und intermediäre m-verallgemeinerte Ordnungsstatistiken konsistente Schätzer für den rechten Trägerendpunkt der unterliegenden Verteilung darstellen. Im zweiten Teil von Kapitel 5 werden die vorangehenden Ergebnisse angewendet, um einen alternativen konsistenten Schätzer, basierend auf m-verallgemeinerten Ordnungsstatistiken, zu erhalten. Insbesondere wird ein asymptotisches Normalverteilungsresultat gezeigt, welches die Konstruktion asymptotischer Konfidenzintervalle für den rechten Trägerendpunkt ermöglicht. In Kapitel 6 werden die in Kapitel 4 und Kapitel 5 für das Modell m-verallgemeinerter Ordnungsstatistiken gezeigten asymptotischen Resultate im Rahmen einer Erweiterung dieses Modells betrachtet.

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