Entropy-based moment closures for rarefied gases and plasmas

Schärer, Roman Pascal; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor); Macdonald, James (Thesis advisor)

Aachen (2016, 2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Kurzfassung

Die Methode der Momente ist ein flexibles mathematisches Gerüst zur Herleitung ordnungsreduzierter Modelle zur Approximation der kinetischen Boltzmanngleichung. Diese Dissertation untersucht auf dem Prinzip der Entropiemaximierung basierende Momentenabschlüsse zur Beschreibung moderat verdünnter Gas- und Plasmaströmungen.Das resultierende PDE-System hat vorteilhafte mathematische Eigenschaften: Die Gleichungen können in Erhaltungsform geschrieben werden, sind symmetrisch hyperbolisch und erfüllen ein H-Theorem. Allerdings stellt die effiziente und robuste numerische Lösung entropiebasierter Momentenabschlüsse eine Herausforderung dar: Erstens kann der Abschluss des Momentensystems eine Singularität um die Gleichgewichtsverteilung aufweisen, so dass das Anfangswertproblem mit Daten im lokalen Gleichgewicht schlecht gestellt ist. Zweitens kann die Hessematrix des Newton-Verfahrens für das duale Minimierungsproblem zur Berechnung der Lagrangemultiplikatoren beliebig schlecht konditioniert sein. Drittens können Momente der Maximum-Entropie-Geschwindigkeitsverteilung im Allgemeinen nicht in geschlossener Form ausgedrückt werden, so dass auf numerische Integrationsmethoden zurückgegriffen werden muss, was den Rechenaufwand erheblich erhöht.Das erste Problem kann umgangen werden, indem das Geschwindigkeitsgebiet begrenzt wird. Numerische Beispiele zeigen, dass die Vergrösserung des Geschwindigkeitsgebiets die Sprunghöhe der Sub-shocks verkleinern kann. Um den Effekt der Singularität für unbeschränkte Geschwindigkeitsgebiete genauer zu untersuchen, wird ein Abschluss in expliziter Form für ein vereinfachtes Modellproblem betrachtet. Eine numerische Untersuchung zeigt, dass die Stärke des Sub-shocks im Grenzfall einer Singularität komplett verschwindet. Mehrere numerische Beispielrechnungen für das 35-Momentensystem zeigen vielversprechende Ergebnisse für die Approximation eindimensionaler, stationärer Schockstrukturen und zeitabhängiger Riemannprobleme. Die Verwendung einer adaptiven Basis für das duale Minimierungsproblem erlaubt die robuste Berechnung starker Nichtgleichgewichtsprozesse.Um die Laufzeit zur Berechnung der numerischen Quadratur zu reduzieren, werden optimierte Implementierungen für Mehrkernprozessoren und Grafikkarten untersucht. Darüber hinaus werden effiziente explizite und semi-implizite Zeitschrittverfahren vorgestellt, welche auf einer Formulierung in den Lagrange-Parametern des dualen Minimierungsproblems basieren.