Simultaneous Optimization with Unsteady Partial Differential Equations

• Simultane Optimierung mit instationären partiellen Differentialgleichungen

Günther, Stefanie; Gauger, Nicolas Ralph (Thesis advisor); Wang, Qiqi (Thesis advisor); Frank, Martin (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Kurzfassung

Die numerische Behandlung von Optimierungproblemen unter instationären Differentialgleichungsnebenbedingungen umfasst eines der anspruchsvollsten Teilgebiete der angewandten Mathematik. Häufig werden gradienten-basierte Optimierungsverfahren vergewendet um eine zeitlich gemittelte Zielfunktion mittels iterativer Aktualisierungen von Designparametern zu minimieren. Der adjungierte Ansatz bietet dabei eine effiziente Methode zur Berechnung der benötigten Gradienten. Dennoch ergeben sich aus der wiederholten Lösung der instationären partiellen Differentialgleichung (PDE) und der adjungierten Gleichung in jedem Schritt konventioneller Optimierungsalgorithmen erhebliche Rechenkomplexitäten. Diese werden noch gravierender, wenn chaotische Systeme betrachtet werden, da zur adjungierten-basierten Gradientenberechnung oft die Lösung eines Randwertproblems in Raum- und Zeitkoordinaten benötigt wird.Um die Gesamtlaufzeit konventioneller Optimierungsmethoden zu reduzieren, konzentriert sich diese Arbeit auf die Integration bestehender instationärer PDE-Löser in ein simultanes Optimierungsframework. Genauer gesagt wird die simultane One-shot Methode betrachtet und für instationäre PDE-Löser erweitert, welche adjungierten-basierte Designparameterupdates in den Prozess der Simulation der zugrunde liegenden PDE integriert. Da konventionelle instationäre Simulationscodes die Lösung der instationären PDE häufig durch Anwendung eines Zeitschrittverfahrens berechnen, welches an jedem Zeitschritt nichtlineare Gleichungen iterativ löst, ist der Übergang zur simultanen One-shot Optimierung nicht trivial. In dieser Arbeit werden diesbezüglich drei neue Ansätze vorgestellt. Der erste Ansatz integriert Designupdates in eine Sequenz von reduzierten Zeitschrittverfahren, welches die nichtlinearen Gleichungen an jedem Zeitschritt lediglich approximiert. In jeder Iteration eines äußeren Optimierungszyklus wird das reduzierte Zeitschrittverfahren durch approximative Adjungierten- und Designupdates erweitert, so dass die Lösung der instationären PDE sowie die optimalen Designparameter simultan erreicht werden. Die numerische Anwendung dieses instationären One-shot Verfahrens wird für ein Optimierungsproblem der aktive Strömungsbeeinflussung unter Verwendung eines instationären Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Lösers demonstriert. Im Vergleich zu einem herkömmlichen Optimierungsverfahren erreicht die simultane One-shot Optimierung in dieser Anwendung einen Beschleunigungsfaktor von drei gemessen in Rechenzeit.Der zweite Ansatz beschäftigt sich mit der sogenannten Parallel-in-Time One-Shot Optimierung. Diese Methode integriert einen iterativen, nicht-intrusiven Multigrid-Algorithmus, der auf den Zeitbereich des instationären Zeitschrittverfahrens angewendet wird, in einen simultanen Optimierungszyklus. Hierbei werden Adjungierten- und Designupdates nach jeder Multigrid-Iteration durchgeführt. Die Parallel-in-Time One-Shot Optimierung erzielt ihre Effizienz durch Verteilung der rechnerischen Arbeitsbelastung auf mehrere Prozessoren entlang des betrachteten Zeitfensters. Das Potenzial der Methode wird für ein advektionsdominiertes Modellproblem demonstriert. Hier wird im Vergleich zu einer konventionellen Optimierungsmethode ein deutlich höherer Beschleunigungsfaktor von 24 erreicht. Der dritte Ansatz ermöglicht die simultane Optimierung mit chaotischen PDEs. Es wird eine Neuformulierung des instationären Zeitschrittverfahrens erarbeitet, welches Informationen sowohl vorwärts als auch rückwärts entlang des betrachteten Zeitfensters ermöglicht. Dadurch können Änderungen der instationären PDE-Lösung durch Anpassung der Anfangsbedingung kompensiert werden. Das resultierende Randwertproblem in Raum- und Zeitkoordinaten wird iterativ gelöst, sodass adjungierten-basierte Designupdates für die simultane One-shot Optimierung in natürlicher Weise integriert werden können.

Einrichtungen

• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik, insb. Computational Mathematics [115120]
• Fachgruppe Mathematik [110000]