An adaptive multiresolution discontinuous Galerkin scheme for conservation laws

• Ein adaptives multiskalen unstetiges Galerkin Verfahren für Erhaltungsgleichungen

Gerhard, Nils; Müller, Siegfried (Thesis advisor); Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Kurzfassung

In dieser Arbeit wird die Entwicklung von adaptiven multiskalen-basierten discontinuous-Galerkin Verfahren für Erhaltungsgleichungen betrachtet. Die Grundidee dieses Konzeptes besteht darin, ein gegebenes Referenzverfahren auf einem uniform verfeinerten Gitter zu beschleunigen, indem auf einem lokal adaptierten (gröberen) Gitter gerechnet wird. Dabei ist das Ziel, die Genauigkeit des Referenzverfahrens zu erhalten. Diese Gitteradaption wird auf Grundlage einer Multiskalenanalyse durchgeführt, bei der die zugrunde liegenden Daten der aktuellen Lösung auf dem Referenzgitter als Daten auf einem Grobgitter und Differenzinformationen zugehörig zu den aufeinanderfolgenden Verfeinerungsleveln dargestellt werden. Mittels lokaler Ausdünnung von kleinen Differenzinformationen, auch Details genannt, wird ein adaptives Gitter bestimmt. In der vorausgegangenen Arbeit von N. Hovhannisyan, S. Müller und R. Schäfer (Math. Comp., 2014) ist das Basiskonzept für räumlich eindimensionale skalare Erhaltungsgleichungen entwickelt und untersucht worden. Hierbei sind uniforme dyadische Gitterhierarchien verwendet worden. Dies stellt eine starke Einschränkung des Anwendungsbereiches dar. Um diese Beschränkungen zu überwinden, sind die Ziele dieser Arbeit (i) die Entwicklung einer wavelet-freien Multiskalenanalyse, um das Konzept auf nicht-uniforme Hierarchien anwenden zu können, (ii) die Herleitung einer robusten und zuverlässigen Strategie zur Wahl des Schwellenwertes, welcher zur Ausdünnung verwendet wird, (iii) die Bereitstellung einer Strategie zur Behandlung von Nebenbedingungen der zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichung und (iv) die Validierung für mehrdimensionale Systeme von Erhaltungsgleichungen.Ein kritischer Punkt in der Umsetzung des adaptiven Verfahrens ist die Konstruktion von geeigneten Basen bzw. Erzeugendensystemen für die Differenzräume. Die explizite Konstruktion einer solchen Basis ist sehr aufwändig und es ist daher von Interesse diese zu vermeiden. Daher wird in dieser Arbeit ein alternativer Ansatz zur Umsetzung der Gitteradaption entwickelt, der ohne die explizite Konstruktion einer Basis auskommt und eine Anwendung des Konzeptes auf beliebige, geschachtelte Gitterhierarchien ermöglicht.Die Effizienz und Zuverlässigkeit des adaptiven Verfahrens hängt stark von der Wahl der lokalen Schwellenwerte ab. Aus diesem Grund wird in dieser Arbeit eine robuste und zuverlässige Strategie zur Wahl der lokalen Schwellenwerte entwickelt, welche weder Tuning noch Parameterfitting oder Rechnungen mit dem Referenzverfahren auf einem uniformen voll verfeinerten Gitter benötigt.Viele Probleme sind an Nebenbedingungen geknüpft. Exemplarisch werden in dieser Arbeit solche Nebenbedingungen im Kontext der Flachwassergleichungen betrachtet. Ein Discontinuous-Galerkin Verfahren für diese Gleichungen muss (i) in der Lage sein einen ausbalancierten Zustand über eine nicht konstante Bodentopographie zu erhalten und (ii) garantieren, dass die Wasserhöhe nicht negativ wird. Lokale Gitteradaption kann diese Bedingungen verletzen. Daher wird in dieser Arbeit eine Strategie entwickelt und analysiert, welche die Einhaltung der genannten Bedingungen in der Gitteradaption garantiert.Um das Konzept zu validieren, werden numerische Ergebnisse für wohlbekannte Benchmark-Testfälle der Burgers Gleichung, der kompressiblen Euler-Gleichungen, der Flachwassergleichungen und der kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen präsentiert. Diese demonstrieren, dass das adaptive Verfahren in der Lage ist, die Rechnungen unter Beibehaltung der Genauigkeit des Referenzverfahrens signifikant zu beschleunigen.

Einrichtungen

• Lehrstuhl für Angewandte Mathematik und Institut für Geometrie und Praktische Mathematik [111410]
• Fachgruppe Mathematik [110000]