Derivation and numerical solution of hyperbolic moment equations for rarefied gas flows

• Herleitung und numerische Lösung hyperbolischer Momentengleichungen für Strömungen verdünnter Gase

Köllermeier, Julian; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor); Li, Ruo (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Kurzfassung

Hyperbolische Momentengleichungen zur Simulation von Strömungen verdünnter Gase werden in dieser Dissertation hergeleitet und mittels geeigneter numerischer Verfahren gelöst.Die numerische Simulation verdünnter Gase bedarf der Lösung der Boltzmanngleichung, da Standardmodelle wie die Eulergleichungen ungültig sind im Bereich verdünnter Gase, welcher gekennzeichnet ist durch große Knudsen-Zahlen. Eine akkurate, direkte Diskretisierung und Lösung der Boltzmanngleichung benötigt, bedingt durch die Hochdimensionalität des Phasenraumes, viele Variablen und ist daher sehr rechenintensiv. Das Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung effizienter und genauer Momentenmodelle für die Lösung der Boltzmanngleichung. Die Verteilungsfunktion der Boltzmanngleichung wird dafür im Geschwindigkeitsraum entwickelt, was auf ein System von Gleichungen für die Entwicklungskoeffizienten führt, welches Momentensystem genannt wird und als Erweiterung der Eulergleichungen angesehen werden kann.Standardansätze führen allerdings zu instabilen Lösungen mangels Hyperbolizität, was bisher der wesentliche Nachteil der Momentenmodelle war. Der Hauptbeitrag dieser Dissertation ist die Herleitung neuer, hyperbolischer Momentenmodelle, genannt quadraturbasierte Momentengleichungen, und die Erklärung derselben aus verschiedenen Standpunkten, die ein besseres Verständnis der neuen Modelle ermöglichen. Die analytischen Eigenschaften der neuen Modelle werden untersucht, Hyperbolizität wird gezeigt und explizite Gleichungen werden hergeleitet.Nach der detaillierten Herleitung im eindimensionalen Fall erfolgt die Erweiterung auf den mehrdimensionalen Fall, um Gleichungen für physikalisch relevante Testfälle herzuleiten. Hierzu gehört eine rotationsinvariante Version der quadraturbasierten Momentengleichungen.Jedes hyperbolische Momentenmodel enthält mindestens eine Gleichung, welche nur in nicht-konservativer Form geschrieben werden kann, weshalb das gesamte Gleichungssystem ein partiell-konservatives Momentensystem ist. Es folgt die Untersuchung geeigneter, numerischer Verfahren zur Berechnung der nicht-konservativen Produkte sowie die Erweiterung zu einem hochauflösenden Verfahren auf zweidimensionalen, unstrukturierten Gittern.Die numerischen Verfahren wie auch die hyperbolischen Momentengleichungen finden erfolgreich Anwendung in verschiedenen Testfällen, die eine robuste Lösung der numerischen Verfahren und eine hohe Genauigkeit der Momentengleichungen zeigen. Die neuen, hyperbolischen Momentengleichungen ergeben höhere Genauigkeit als existierende Modelle und haben einen größeren Anwendungsbereich auf Grund ihrer Hyperbolizität, was in eindimensionalen und zweidimensionalen numerischen Simulationen gezeigt werden kann.

Einrichtungen

• Lehrstuhl für Angewandte und Computergestützte Mathematik [115010]
• Fachgruppe Mathematik [110000]