Dimensionsformeln für Räume von hermiteschen Spitzenformen vom Grad 2

  • Dimension formulas for spaces of Hermitian cusp forms of rank two

Freh, Andreas; Krieg, Aloys (Thesis advisor); Raum, Martin (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aaachen University, 2017

Kurzfassung

Braun führte als eine Verallgemeinerung der elliptischen und der Siegelschen Modulformen die Begriffe der hermiteschen Modulformen und der hermiteschen Spitzenformen ein.In dieser Dissertation werden wir exakte Dimensionsformeln für Räume von hermiteschen Spitzenformen vom Gewicht $k$ zu Hauptkongruenzgruppen $\Gamma_2(q)$ vom Grad $2$ mit Hilfe der Selbergschen Spurformel bestimmen.Einschränken müssen wir uns dabei auf die Fälle $q\in\mathbb{N}$ mit $q\geq2$. Zudem erhalten wir nur Ergebnisse für den Fall, dass die Klassenzahl des imaginärquadratischen Zahlkörpers gleich $1$ ist.Dazu werden wir zuerst die Selbergsche Spurformel für hermitesche Spitzenformen herleiten. Wir werden außerdem mögliche Umformungen der Spurformel betrachten, welche es uns ermöglichen, diese in den späteren Kapitelnauszuwerten. Wir werden zudem konvergenzerzeugende Faktoren bestimmen, welche es uns ermöglichen, Summation und Integration zu tauschen. Insbesondere geben wir eine Form der Selbergschen Spurformel an, die es uns erlaubt,die Dimension der Spitzenformen zu einer Hauptkongruenzgruppe $\Gamma_2(q)$ zu berechnen, dabei aber Vertreter in der hermiteschen Modulgruppe $\Gamma_2$ zu bestimmen.Danach entwickeln wir Methoden, Vertreter einer Konjugationsklasse in $\Gamma_2$ und der unitären Gruppe $\mathcal{U}(2,\mathbb{C})$ zu bestimmen. Dann werden wir bestimmen, welche Konjugationsklassen keinen Beitrag zur Dimensionsformel liefern. Für diese brauchen wir dann keine Vertreter in $\Gamma_2$ zu kennen. Für die restlichen Konjugationsklassen werden wir ein Vertretersystem angeben und die Beiträge dieser Konjugationsklassen bestimmen.Zudem leiten wir eine Formel für den Index einer Hauptkongruenzgruppe in der Modulgruppe her und berechnen mit Hilfe einer Formel von Shimura das Volumen eines Fundamentalbereiches. Mit diesen Ergebnissen können wir dann dieSpurformel auswerten. Dabei treten Grenzwerte auf, die sogenannte Shintani-Zetafunktionen beinhalten. Diese werden wir bestimmen und damit eine Dimensionsformel angeben. Zum Schluss geben wir einen kurzen Ausblick auf mögliche Verallgemeinerungen des Resultates dieser Arbeit undgehen auf die größten Schwierigkeiten ein, die bei diesen Verallgemeinerungen auftreten.

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