Validated Continuation for a simple two-dimensional elastic solid

  • Die Methode der ‚Validierten Pfadverfolgung‘ angewandt auf ein vereinfachtes Modell eines zweidimensionalen Festkörpers

Schulze, Friederike; Maier-Paape, Stanislaus (Thesis advisor); Healey, Timothy J. (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Kurzfassung

Das Ziel dieser Arbeit ist die Validierung von Lösungen eines Randwertproblems vierter Ordnung, das bei der Untersuchung der Mikrostruktur von Formgedächtnislegierungen auftritt, mit Hilfe der Methode der 'validierten Pfadverfolgung' wie sie von Gameiro & Lessard (2010) beschrieben wird. Wie in Healey & Miller (2007) betrachten wir ein vereinfachtes zweidimensionales Modell eines elastischen Festkörpers unter dem Einfluss erzwungener antiplaner Scherspannung und bei geringer Grenzflächenenergie. Die resultierende parameterabhängige partielle Differentialgleichung kann in einen linearen Teil vierter Ordnung und zwei nicht-lineare Anteile unterteilt werden, wobei eine dieser Nichtlinearitäten für einen bestimmten Ladungsparameter verschwindet. Dieser Fall stellt einen besonderen Spezialfall des Problems dar.Mit dem Kehrwert des Kapillaritätskoeffizienten als Continuationparameter werden verschiedene, von der trivialen Lösung des Problems abzweigende Pfade berechnet. Jede so berechnete numerische Lösung wird dann durch einen computerunterstützten analytischen Beweis validiert, der als Ergebnis einen sogenannten Validierungsradius liefert. Die Existenz eines solchen Radius' beweist dann die Existenz einer echten Lösung der Differentialgleichung in einer Umgebung der numerisch berechneten Gleichgewichtslösung der endlich-dimensionalen Approximation.Für oben genannten Spezialfall erhalten wir mit dieser Methode Validierungsresultate für Lösungen am Beginn einiger von der trivialen Lösung abzweigender Pfade. Es ist uns allerdings auf Grund langer Rechenzeiten nicht möglich, die Validierung auf höhere Parameterwerte auszuweiten, also auf Lösungen für kleine Grenzflächenenergie. In dieser Arbeit analysieren wir außerdem die Schwierigkeiten bei der Anwendung dieser Methode auf den allgemeinen Fall und zeigen Alternativen auf.

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