Solving an Elliptic PDE Eigenvalue Problem via Automated Multi-Level Substructuring and Hierarchical Matrices

Gerds, Peter; Grasedyck, Lars (Thesis advisor); Börm, Steffen (Thesis advisor)

Aachen (2017)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Elliptische PDE Eigenwertprobleme werden in der Praxis typischerweise mithilfe der Finite-Element-Diskretisierung gelöst. Aus der Approximationstheorie ist bekannt, dass nur die kleinsten Eigenwerte und die zugehörigen Eigenfunktionen sich gut durch die Finite-Element-Diskretisierung approximieren lassen, da der entsprechende Approximationsfehler mit der Größe des Eigenwertes wächst. Resultate bezüglich der Anzahl der gut approximierbaren Eigenwerte und Eigenfunktionen sind bisher aber noch unbekannt. In dieser Arbeit werden Abschätzungen hergeleitet, die es erlauben diese Größen asymptotisch zu beschreiben. So wird zum Beispiel gezeigt, dass für drei-dimensionale Probleme (unter bestimmten Glattheitsbedingungen der Daten) nur die kleinsten $\Theta (N^{2/5})$ Eigenwerte und die Eigenfunktionen zu den kleinsten $\Theta (N^{1/4})$ Eigenwerten gut durch die Finite-Element-Diskretisierung approximierbar sind, wenn $N$-dimensionale Finite-Element-Räume mit stückweise affinen Funktionen bei gleichmäßiger Gitterverfeinerung verwendet werden. Um das diskretisierte elliptische PDE Eigenwertproblem zu lösen und um alle gut approximierbaren Eigenwerte und Eigenfunktionen zu berechnen, wird in dieser Arbeit eine neue Methode vorgestellt, welche eine rekursive Version der Automated Multi-Level Substructuring (kurz AMLS) Methode mit dem Konzept der hierarchischen Matrizen (kurz $\mathcal{H}$-Matrix) kombiniert. AMLS ist eine Gebietszerlegungsmethode zum Lösen elliptischer PDE Eigenwertprobleme, bei der nach einer bestimmten Problemtransformation ein reduziertes Eigenwertproblem aufgestellt wird. Die Eigenlösungen des reduzierten Problems liefern schließlich Approximationen der gesuchten Eigenlösungen des Ausgangsproblems. Die klassische AMLS Methode ist sehr effizient für PDE Eigenwertprobleme definiert auf einem zwei-dimensionalen Gebiet, jedoch wird die Methode sehr teuer für drei-dimensionale Probleme, da in AMLS das reduzierte Problem mittels vollbesetzter Matrixoperationen berechnet wird. In dieser Arbeit wird dieses Effizienzproblem von AMLS durch den Einsatz von hierarchischen Matrizen gelöst. $\mathcal{H}$-Matrizen sind kosteneffiziente Approximation von vollbesetzten Matrizen, welche beispielsweise auftreten bei der Invertierung der Steifigkeitsmatrix der Finite-Element-Diskretisierung elliptischer PDE Operatoren. Der große Vorteil von $\mathcal{H}$-Matrizen ist, dass diese eine Matrixarithmetik mit fast linearer Komplexität ermöglichen. Diese schnelle $\mathcal{H}$-Matrixarithmetik wird verwendet um das reduzierte Problem zu berechnen. Darüber hinaus wird die Größe des reduzierten Problems durch eine neue rekursive Version von AMLS beschränkt, was die Kosten für das Aufstellen und das Lösen des reduzierten Problems weiter verringert. Insgesamt führt dies zu einer neuen Methode, welche sehr gut geeignet ist um drei-dimensionale elliptische PDE Eigenwertprobleme zu lösen und welche eine Vielzahl von Eigenpaar Approximationen in optimaler Komplexität berechnet.

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