On building blocks of finite volume methods : Limiter functions and Riemann solvers

Schmidtmann, Birte; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor); Marquina, Antonio (Thesis advisor)

Aachen (2017, 2018)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In dieser Arbeit interessieren wir uns für die numerische Lösung von Erhaltungsgleichungen mit Finite-Volume-Methoden von hoher Ordnung. Hyperbolische Systeme partieller Differentialgleichungen sind besonders anspruchsvoll, da auch glatte Anfangsbedingungen in endlicher Zeit Unstetigkeiten entwickeln können. Solche Probleme naiv mit hoher-Ordnung Methoden zu diskretisieren könnte zu unerwünschten Oszillationen bei Diskontinuitäten führen. Methoden erster Ordnung haben dieses Problem nicht, da Schocks ausgeschmiert werden. Dennoch sind hohe- Ordnung Schematagefragt, da sie den Vorteil haben, eine feste Fehlerschranke bereits auf gröberen Gittern zu erreichen als Methoden niedrigerer Ordnung. Dies reduziert die Gesamtrechenzeit und damit die Gesamtkosten. Limiter Funktionen kombinieren die Vorteile mehrerer Methoden und ändern das Schema von hoher zu niedrigerer Ordnung wenn nötig. Dies vermeidet Oszillationen bei Diskontinuitäten bei gleichzeitiger Erhaltung der hohen-Ordnung Genauigkeit in glatten Teilen der Lösung. Dadurch sind die resultierenden Schemata anwendbar auf physikalisch relevante Probleme, deren Lösungen oft glatte Teile als auch Diskontinuitäten, große Steigungen oder Schocks enthalten. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Schemas von dritter-Ordnung Genauigkeit. Dies wird durch die Verbesserung einzelner Grundbausteine der Finite Volumen Methode erreicht. Hierzu identifizieren wir die wichtigsten Routinen des Verfahrens und präsentieren neue Konzepte zu ihrer Verbesserung. Wir konzentrieren uns auf zwei Bausteine. Erstens, die hohe-Ordnung Rekonstruktion von Zwischenzellwerten mit Limiter Funktionen und zweitens die numerische Flussfunktion, auch Riemann Löser genannt. Ersteres ist entscheidend für die Konvergenzordnung der Lösung während letzteres die Menge der Dissipation bestimmt, die dem Schema hinzugefügt wird. Wir entwickeln eine neue dritte-Ordnung Rekonstruktion für die räumliche Approximation von hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Diese Rekonstruktion schaltet zwischen erster und dritter Ordnung, was zu einem Schema führt, das in glatten Teilen der Lösung hohe Ordnung erreicht und bei Diskontinuitäten keine Oszillationen erzeugt. Außerdem wird das Abschneiden von glatten Extremstellenvermieden, ein Nachteil bei total-variationsvermindernden (TVD) Methoden. Der neue Limiter ist kompakt, da nur Zellmittelwerte der zentralen Zelle so wieder direkten Nachbarzellen benötigt werden. Darüber hinaus bleibt die Rekonstruktion in der Struktur von traditionellen zweite-Ordnung Verfahren, was die Implementierung des Limiters in bestehenden Codes erleichtert. Schließlich umfasst der Limiter ein Entscheidungskriterium ohne künstliche Parameter, welches Schocks und große Gradienten von Extremstellen unterscheidet. Die so erhaltenen Rekonstruktionen auf beiden Seiten der Zellgrenzen werden dann als Eingabewert der numerischen Flussfunktion genutzt, welche lokale Riemann Probleme löst. Daher bezeichnet man sie auch als Riemann-Löser. In den letzten Jahrzehnten wurden viele solcher Löser entwickelt. Allerdings fügen die meisten klassischen Löser dem Schema zu viel Dissipation hinzu, so dass Diskontinuitäten ausgeschmiert werden. Andererseits brauchen Riemann Löser, die weniger (die minimal nötige Menge) Dissipation hinzufügen, Informationenüber der Eigenstruktur, was insbesondere für große Systeme aufwendig ist. Daher besteht die Notwendigkeit neue Riemann Löser zu entwickeln, die wenig Informationen des Eigensystems benötigen aber immer noch alle Wellen des Systems mit weniger Dissipation reproduzieren als klassische Methoden wie Rusanov oder Harten- Lax-van Leer (HLL). Wir präsentieren eine hybride Familie von Riemann Lösern, die lediglich einen Schätzwert der global schnellsten Wellengeschwindigkeit in beide Richtungen benötigt. Daher sind die neuen Löser besonders effizient für große Systeme von Erhaltungsgleichungen, bei denen keine explizite Formulierung des Eigensystems verfügbar ist oder diese zu aufwendig zu berechnen ist. Zur Validierung der entwickelten Schemata führen wir eine Reihe von numerischen Experimenten durch. Zuerst zeigen wir, dass der neue Limiter die gewünschte dritte Ordnung Genauigkeit für glatte Funktionen erreicht. Testfälle umfassen linearen Transport mit glatten und unstetigen Anfangsbedingungen, Euler Gleichungen und ideale Magnetohydrodynamik (MHD). Die Probleme werden auf äquidistanten und nicht-äquidistanten Gittern in einer und zwei Dimensionen präsentiert, außerdem auf kartesischen Gittern mit adaptiver Gitterverfeinerung. In einem zweiten Schritt wird die hybride Familie von Riemann Lösern getestet. Hier zeigen wir, dass die neu entwickelten Löser weniger Dissipation induzieren als vergleichbare Löser. Dies führt zu höher aufgelösten Kanten und weniger ausgeschmierten Diskontinuitäten. Numerische Beispiele enthalten linearen Transport, Euler-Gleichungen, MHD-Gleichungen, sowie die regularisierten 13-Momenten- Gleichungen (R13). Schließlich werden beide Teile dieser Arbeit kombiniert, um Ergebnisse dritter Ordnung zu erhalten. Wir rekonstruieren mit dem neuen dritte-Ordnung Limiter und fügen die rekonstruierten Zwischenzellwerte in die hybride Familie von Riemann Lösern ein. Für alle numerischen Beispiele testen wir auch vergleichbare Methoden, um die Qualität der entwickelten Schemata zu überprüfen. Die Lösungen, die mit den neu entwickelten Methoden erhalten wurden zeigen bessere oder vergleichbar gute Ergebnisse und eine sehr gute Leistung.

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