Stable and convergent discontinuous galerkin methods for hyperbolic and viscous systems of conservation laws

Zakerzadeh, Mohammad; May, Georg (Thesis advisor); Noelle, Sebastian (Thesis advisor); Tadmor, Eitan (Thesis advisor)

Aachen (2017, 2018)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Trotz des klassischen Wohlstands-Theorems für entropische schwache Lösungen von skalaren Erhaltungssätzen, werfen einige theoretische und numerische Beweise Zweifel hinsichtlich der Angemessenheit dieses Lösungsparadigmas für mehrdimensionale hyperbolische Systeme auf. Es wurde vermutet, dass die allgemeineren Entropiemesswert (EMV)-Lösungen als adäquater Lösungsbegriff betrachtet werden sollten. Aufbauend auf früheren Ergebnissen beweisen wir, dass beschränkte Lösungen einer bestimmten Klasse von diskontinuierliche Raum-Zeit-Galerkin (DG)-Verfahren zu einer EMV-Lösung konvergieren. Die Neuigkeit in unserer Arbeit besteht darin, dass für die Stabilisierung keine Streamline-Begriffe verwendet werden, im Gegensatz zu der Rolle, die solche Stabilisierungen in der bestehenden Analyse von DG-Systemen spielen. Unser Ansatz entspricht der ursprünglich vorgeschlagenen Art von DG-Systemen und wird am häufigsten in der Praxis verwendet. Im Falle von Skalarproblemen wird dieses Ergebnis verstärkt, um die Konvergenz zur schwachen Lösung der Entropie zu erhalten, und zwar über den Beweis der $L_\infty$-Verschmutzung der Lösung sowie ihre Übereinstimmung mit allen Entropie-Ungleichungen. Als Hauptschritt im Beweis der Beschränktheit zeigen wir die Koerzitivkraft des schockfangenden Operators, der neue Argumente aus polynomischen Ungleichungen verwendet. Für viskose Erhaltungsgesetze erweitern, wir unseren Rahmen zu allgemeinen Systemen des Konvektions-Diffusionstyps mit nichtlinearer Konvektion und nichtlinearer Diffusion, sodass die Entropiestabilität des Schemas erhalten bleibt. Ausgehend von einer Mischformulierung behandeln wir die Schwierigkeiten, die sich aus der Nichtlinearität des viskosen Flusses durch eine zusätzliche Projektion ergeben. Wir beweisen die Entropiestabilität der entsprechenden Urform für verschiedene Behandlungen des viskosen Flusses; dadurch werden die vorhandenen Ergebnisse in der Literatur vereinheitlicht und die Entropiestabilität für weniger analysierte Methoden festgelegt. Unsere Analyse gilt auch für den Fall der degenerierten Diffusion. Unter Berücksichtigung quasilinearer elliptischer Probleme in skalaren Einstellungen zeigen wir, dass der vorgeschlagene Ansatz für die viskose Diskretisierung asymptotisch konsistent und adjungiert konsistent ist. Für den speziellen Fall von stark monotonen und global Lipschitz-Problemen beweisen wir die Einzigartigkeit und Stabilität der numerischen Lösung. Für diese Klasse von Bedienern beweisen wir auch die optimale Konvergenz zur exakten Lösung in Bezug auf die Maschenweite, sowohl in der Energie als auch in der $L_2$-Norm. Solche optimalen Konvergenzraten für asymptotisch (adjungierte) konsistente Schemata wurden zuvor in numerischen Experimenten beobachtet.

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