Kinetic and hyperbolic equations with applications to engineering processes

• Kinetik und Hyperbolische Gleichungen mit Anwendungen in ingenieurwissenschaftlichen Prozessen

Häck, Axel-Stefan; Herty, Michael Matthias (Thesis advisor); Banda, Mapundi K. (Thesis advisor)

Aachen (2017, 2018)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Kurzfassung

Der Inhalt dieser Arbeit is in sechs Kapitel strukturiert. Kapitel 1-3 sind der Einführung bekannter und bewährter Konzepte und Resultate gewidmet, welche notwendig für das Verständnis der Arbeit in Kapitel 4 und 5 sind. In diesen beiden Kapiteln werden Forschungsergebnisse des - unteranderen - Autors vorgestellt. Das letzte Kapitel 6 ist das obligatorische Kapitel "Zusammenfassung und Fazit". In Kapitel 1 leiten wir die Boltzmann Gleichung für Gas, aus der zugrundeliegenden Partikeldynamik der einzelnen Atome her. Nachdem wir die Boltzmann Gleichung aufgestellt haben, führen wir Momente von dieser ein und nehmen einen hydrodynamischen Limes zur Herleitung der Euler Gleiungender Gasdynamik. Das zweite Kapitel widmet sich hyperbolischen Erhaltungsgleichungen - in einer Raumdimension. Wir führen bekannte Beispiele solcher Gleichungen ein. Danach diskutieren wir das Riemann Problem. Nachdem wir eine Theorie erstellt haben, um solche Riemann Probleme zu lösen, nutzen wir diese um den "wave front tracking" Algorithmus einzuführen. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels beweisen wir ein Existenzresultat für die Lösungen solcher Riemann Probleme. In Kapitel 3 interessieren wir uns für die numerische Analysis von Erhaltungsgleichungen. Zuerst beschreiben wir das allgemeine Konzept eines "finite volume" Verfahrens. Die speziellen Verfahren unterscheiden sich durch die benutzten "numerical flux" Funktionen. Wir führen mehrere solcher Funktionen ein und analysieren diese zunächst theoretisch. Danach präsentieren wir numerische Ergebnisse dieser Verfahren zu drei Testfällen. Diese Verfahren werden dann auf den räumlich zwei-dimensionalen Fall erweitert und wir testen diese dann an einer Serie von Riemann Problemen und vergleichen die Ergebnisse. Im vierten Kapitel wird ein Stahwalz Modell erstellt. Das Hauptwerkzeug hierzu ist eine kinetische partielle Differentalgleichung zur Beschreibung des Prozesses auf Langzeitskalen bei hohen Werkstückzahlen. Wir beginnen damit bekannte Walzmodelle vorzustellen um dann, analog zu Kapitel 1, ein simplifiziertes partikelbasiertes Modell der Dynamik aufzustellen. Aus diesem Modell werden wir dann eine kinetische Gleichung und danach, durch Nutzung eines hydrodynamischen Limes, eine fluid-artige Gleichung herleiten. Wir zeigen numerische Ergebnisse zu dieser Gleichung, welche das zweidimensionale Lösungsverfahren aus Kapitel 3 nutzen. In Kapitel 5 entwickeln wir ein "second order finite volume" Verfahren für 2 × 2 Erhaltungsgleichungen auf Netzwerken. Der entscheidende Punkt hier ist es einen passenden "numerical flux" an den Knoten an den Verbindungspunkten des Netzwerks zu finden. Hierzu nutzen wir eine charakteristische Zerlegung der Zeitableitung mit einer Exaktheit von zweiter Ordnung und nutzen diese um die Raumableitungen der auslaufenden Information zu schätzen. Nach der theoretischen Herleitung des Verfahren, stellen wir numerische Ergebnisse zu einem Gaspipeline-Netzwerk vor. Diese Resultate nutzen die Verfahren, welche in Kapitel 3 diskutiert wurden. Wie bereits erwähnt, besteht das letzte Kapitel aus einer kurzen Zusammenfassung und Fazits zu den Ergebnissen der Kapitel 4 und 5.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Angewandte Mathematik und Institut für Geometrie und Praktische Mathematik [111410]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [114620]