On symmetric critical points of knot energies

Gilsbach, Alexandra Philippa; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Strzelecki, Pawel (Thesis advisor)

Aachen (2018) [Doktorarbeit]

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Kurzfassung

In der vorliegenden Dissertation betrachten wir die Energielandschaft von Knotenenergien. Konkret geht es um die Frage, ob es in einer Knotenklasse mehr als einen kritischen Punkt gibt. Als Vorbild dient die Arbeit zur Ropelength-Energie von Cantarella et al.. Wir wenden das Prinzip der Symmetrischen Kritikalität von Palais an, um die Existenz verschiedener symmetrischer kritischer Punkte in Torusknotenklassen für drei Familien stetig differenzierbarer Knotenenergien zu zeigen: Die Integrale Mengerkrümmung M_p, die Tangenten-Punkt-Energien T(r,q) sowie die O’Hara-Energien E_alpha. Dabei nutzen wir unter Anderem aus, dass ein fester Torusknoten nicht zwei oder mehr teilerfremde Perioden besitzen kann, also Rotationssymmetrien, bei denen der Knoten die Rotationsachse nicht schneidet. Für diese Aussage liefern wir einen neuen, geometrischen Beweis. Außerdem stellen wir Experimente mit dem numerischen Gradientenfluss für M_p von Hermes vor, die Hinweise darauf geben, ob symmetrische kritische Punkte stabile kritische Punkte oder Sattelpunkte sind. Wir präsentieren numerische Hinweise darauf, dass sich für steigendes p die Minimierer von M_p denen der Ropelength-Energie annähern. Anschließend weisen wir analytisch die Konvergenz der Minimierer von M_p gegen Minimierer der Ropelength nach und zeigen ein analoges Resultat für die symmetrischen kritischen Punkte. Dazu weisen wir nach, dass die Integrale Mengerkrümmung für p gegen unendlich gegen die Ropelength-Energie Gamma-konvergiert.

Identifikationsnummern

  • REPORT NUMBER: RWTH-2018-224748