Axiomatisches Denken und Arbeiten im Mathematikunterricht

Hock, Tobias; Heitzer, Johanna Maria (Thesis advisor); Schwank, Inge (Thesis advisor); Jahnke, Hans Niels (Thesis advisor)

Aachen (2018)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Aussagen, die im Rahmen mathematischer Theorien bewiesen werden, genießen ein besonders hohes Maß an Sicherheit und Beständigkeit. Maßgeblich verantwortlich für diesen Ruf ist die axiomatische Methode: Ausgehend von Aussagen, die über jeden Zweifel erhaben sind, lassen sich streng logisch und unter ausschließlicher Verwendung bereits bewiesener Sätze weitere Resultate herleiten. So wird ein umfassendes, strukturiertes Theoriegebäude errichtet. Seit Euklid mit seinem Werk Die Elemente im 3. Jahrhundert v. Chr. die Geometrie erstmals axiomatisch-deduktiv aufbaute, war diese Darstellungsform paradigmatisch für exakte Wissenschaft. Im Verlauf der Jahrhunderte haben sich das Bild von Mathematik und damit auch der Blick auf die Rolle der Axiomatik grundlegend gewandelt: Zu Beginn des 20. Jahrhunderts setzte sich ein abstrakt-formalistischer Standpunkt durch, dem zufolge mathematische Begriffe als Variablen für inhaltlich nicht näher bestimmte Entitäten aufgefasst werden. Axiome beschreiben vor diesem Hintergrund die Beziehungen, die zwischen diesen bestehen, und definieren die Begriffe so implizit. Damit entfiel der klassische Wahrheitsanspruch mathematischer Aussagen, wie er sich in der angenommenen Selbstevidenz der Axiome äußerte, zugunsten des formalen Konzepts der Widerspruchsfreiheit. Dieser Paradigmenwechsel ebnete den Weg für eine Mathematik, in der inhaltlich verschiedene, aber strukturell ähnliche Themengebiete in abstrakt formulierten Theorien zusammengefasst und geordnet werden können. Trotz ihrer grundlegenden Bedeutung für das Selbstverständnis der Mathematik als beweisende Disziplin spielt die axiomatische Methode im gegenwärtigen Mathematikunterricht kaum eine Rolle. Reformversuche, welche unter anderem eine stärkere Berücksichtigung axiomatischer Aspekte in den Curricula umfassten, gelten als gescheitert. Das in sämtlichen Bildungsstandards ausgewiesene Kompetenzfeld Argumentieren umfasst zwar verschiedene Strengeniveaus; axiomatische Betrachtungen werden darin jedoch konsequent ausgeklammert. Die Hauptziele dieser Arbeit bestehen darin, dem interessierten Leser einen Gesamtüberblick über die Bedeutung der Axiomatik in der Mathematik zu geben und Lehrkräften eine didaktische Grundlage für eine eigene reflektierte Entscheidung zur Verfügung zu stellen, ob und in welchem Maße sie axiomatische Themen mit Schülerinnen und Schülern behandeln wollen. Schließlich sollen konkrete Möglichkeiten aufgezeigt werden, axiomatische Denk- und Arbeitsweisen zum Gegenstand von Lernumgebungen zu machen. Um diese Ziele zu erreichen, werden• wesentliche Eigenschaften der axiomatischen Methode aus mathematikhistorischer und -philosophischer Sicht beleuchtet;• die Argumente für und wider eine Behandlung axiomatischer Themen im Mathematikunterricht eruiert und aus heutiger didaktischer Sicht bewertet;• übergeordnete Lernziele und didaktische Leitlinien für eine abgerundete Behandlung von Axiomatik auf Oberstufenniveau formuliert;• gelungene Unterrichtskonzepte zu ausgewählten axiomatischen Gesichtspunkten vorgestellt;• ein eigenes Konzept inkl. umfangreicher Materialien zur Behandlung axiomatischer Themen zur Verfügung gestellt, welches für den Einsatz in Zusatzkursen der Sekundarstufe II gedacht ist.

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