A high order discretization technique for singularly perturbed differential equations

Kaiser, Klaus; Noelle, Sebastian (Thesis advisor); Schütz, Jochen (Thesis advisor); Munz, Claus-Dieter (Thesis advisor)

Aachen (2018) [Doktorarbeit]

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Kurzfassung

Die kompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen konvergieren gegen das inkompressible Gegenstück, wenn die Mach-Zahl ε gegen Null geht. Für den Fall einer schwach kompressiblen Strömung, d.h. ε << 1, können die Gleichungen als singulär gestörte Differentialgleichungen angesehen werden. Diese Gleichungen stellen bestimmte Voraussetzungen an numerische Verfahren, wodurch Standard-Methoden oft nicht in der Lage sind, eine genaue Approximation effizient zu berechnen. Eine Möglichkeit, dieses Problem zu beheben, ist, die Gleichungen in einen steifen und einen nicht steifen Teil zu zerlegen und dann den steifen Teil implizit und den nicht steifen Teil explizit in der Zeit zu diskretisieren. Dieses Verfahren resultiert in eine IMEX-Methode, wobei der entscheidene Teil die Wahl der Zerlegung ist. In dieser Arbeit wird das neue RS-IMEX Splitting, das den ε → 0 Limit verwendet, um die Gleichungen mittels einer Linearisierung aufzuteilen, mit IMEX-Runge-Kutta-Verfahren hoher Ordnung gekoppelt. Die resultierende Methode wird auf verschiedene singulär gestörte Differentialgleichungen angewandt und in ihrem Verhalten für ε << 1 untersucht. Dies wird in den folgenden Schritten getan: Zuerst wird die Methode auf eine Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen angewandt und es wird gezeigt, inwiefern die resultierende Diskretisierung unter Ordnungsreduktion leidet. Hierfür wird gezeigt, dass das Konvergenzverhalten von ε abhängt und dass die Ordnungsreduktion hauptsächlich vom impliziten Teil der Diskretisierung bestimmt wird. Dies führt zu einem verbesserten Konvergenzverhalten verglichen mit einer Standardzerteilung. Numerische Berechnungen zeigen den Einfluss der Ordnungsreduktion und ein Vergleich mit etablierten Methoden wird durchgeführt. Als zweites wird die Methode auf die isentropen Euler-Gleichungen angewandt und für den Fall schwach kompressibler Strömungen untersucht. Für die räumliche Diskretisierung wird ein unstetiges Galerkin-Verfahren verwendet. Es wird gezeigt, dass die resultierende Methode mit dem ε → 0 Limit der Gleichungen konsistent ist, sie ist also asymptotisch konsistent. Dann werden mit der Hilfe von numerischen Berechnungen die Stabilität und Genauigkeit untersucht. In dieser Arbeit wird eine Diskretisierung hoher Ordnung für singulär gestörte Differentialgleichungen vorgeschlagen, die konsistent mit dem ε → 0 Limit ist und das gewünschte Verhalten im Fall kleiner Mach-Zahlen zeigt.

Identifikationsnummern

  • REPORT NUMBER: RWTH-2018-228660