Local invariant sets of analytic vector fields

Kruff, Niclas; Walcher, Sebastian (Thesis advisor); Zerz, Eva Barbara (Thesis advisor)

Aachen (2018)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In der vorliegenden Dissertation befassen wir uns mit invarianten Mengen von autonomen gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die Suche nach und Analyse von invarianten Mengen ist ein verbreitetes Werkzeug um das lokale Verhalten dynamischer Systeme in der Nähe von stationären Punkten zu untersuchen. Eine besondere Klasse von invarianten Mengen sind algebraische invariante Kurven ebener polynomieller Vektorfelder, die zum einen eine wichtige Rolle in der Theorie von integrablen Systemen und zum anderen eine zentrale Rolle im Zentrumsproblem spielen. Wir führen zunächst Semi-Invarianten und invariante Ideale ein, deren Nullstellenmengen lokale invariante Mengen der zugehörigen Differentialgleichung sind. Ein essentielles Werkzeug, um das lokale Verhalten in der Nähe von stationären Punkten zu untersuchen, ist die Poincaré-Dulac Normalform (PDNF) eines Vektorfeldes. Wir beweisen, dass jedes invariante Ideal eines Vektorfeldes in PDNF bereits invariant bezüglich des halbeinfachen linearen Anteils ist. Darüber hinaus zeigen wir, dass jedes invariante Ideal von Semi-Invarianten erzeugt werden kann. Daher können Semi-Invarianten als die Bausteine invarianter Ideale interpretiert werden. Um diese Aussagen beweisen zu können, verwenden wir vor allem Eigenschaften des Rings der formalen Potenzreihen. Im Allgemeinen ist es eine Herausforderung Gradschranken für Semi-Invarianten polynomieller Vektorfelder zu finden und es ist zudem bis heute ein offenes Problem: das sogenannte Poincaré-Problem. Ein Hauptziel dieser Arbeit ist es solche Gradschranken unter bestimmten generisch erfüllten Voraussetzungen zu konstruieren. Wir werden bekannte Resultate aus Dimension zwei auf höhere Dimensionen verallgemeinern, was eine Beziehung zwischen dem Totalgrad des Vektorfeldes und dem Totalgrad von möglichen irreduziblen Semi-Invarianten herstellt. Die zentrale Technik, die wir verwenden um Gradschranken herzuleiten, ist das Konzept von stationären Punkten im Unendlichen. Des Weiteren haben invariante Mengen Anwendungen in der Bifurkationstheorie. In dieser Arbeit konzentrieren wir uns insbesondere auf Hopf-Bifurkationen, welche zu Grenzzyklen führen, welche periodische Lösungsbahnen sind. Wir stellen einen Algorithmus vor mit dessen Hilfe wir entscheiden können, ob der entstehende Grenzzyklus bei einer Hopf-Bifurkation anziehend oder abstoßend ist. Hopf-Bifurkationen sind von großem Interesse, wenn es um chemische Reaktionsnetzwerke oder Räuber-Beute Modelle in der Biologie geht. Abschließend befassen wir uns mit dem inversen Problem. Anstelle invariante Mengen für ein gegebenes dynamisches System zu finden, bestimmen wir Vektorfelder, sodass eine vorgegebene Varietät invariant bezüglich dieser Vektorfelder ist. Wir analysieren anziehende invariante reelle Varietäten, wobei wir uns für den Spezialfall kompakter, und glatter Varietäten interessieren. Für eine solche Varietät bestimmen wir Vektorfelder, sodass eine Umgebung existiert, in der alle Lösungsbahnen der zugehörigen Differentialgleichungen von der Varietät angezogen werden.

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