On curves and surfaces of prescribed mean curvature in Finsler spaces

Feddern, Stephanie; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Aachen (2018)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit behandelt Kurven und Flächen vorgeschriebener Krümmung in Finslerräumen. Zunächst untersuchen wir Kurven als Minimierer des Finslerschen Längenfunktionals. Dabei verwenden wir den variationellen Ansatz für elliptische und definite parametrische Lagrange-Funktionen nach Buttazzo, Giaquinta und Hildebrandt [BGH98, GH96]. Wir können die Ergebnisse verallgemeinern, indem wir das Längenfunktional für schwache Finslermetriken betrachten. Im Weiteren behandelt die Arbeit das Plateau-Problem in 3-dimensionalen Finslerräumen und verallgemeinert damit die Resultate von Overath und von der Mosel [Ove14,OvdM14] auf Flächen vorgeschriebener Finsler-mittlerer Krümmung. Dazu wandeln wir das anisotrope Funktional von Clarenz und von der Mosel [CvdM04], dessen kritische Immersionen gerade Flächen vorgeschriebener gewichteter mittlerer Krümmung sind, so ab, dass wir nun die Finsler-mittlere Krümmung vorschreiben, wie sie von Shen in [She98] eingeführt wird. Wir erhalten eine Lösung zum Plateau-Problem durch Anwendung der Cartan-Theorie von Hildebrandt und von der Mosel [HvdM99, HvdM03b,HvdM03c], wenn wir gewährleisten, dass der Integrand definit und semi-elliptisch ist. Außerdem können wir mit Hilfe der Dominanzfunktionen [HvdM03a] höhere Regularität der Minimierer nachweisen. Andere Randwertprobleme, wie das halbfreie und das freie Randwertproblem sowie das Douglas-Problem können wir mit ähnlichen Methoden lösen. Zuletzt lassen sich die meisten der genannten Resultate auf 2-dimensionale Flächen von beliebiger Kodimension erweitern.

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