Analysis of shearlet coorbit spaces

  • Analyse von Shearlet-Coorbit-Räumen

Koch, René; Führ, Hartmut (Thesis advisor); Dahlke, Stephan (Thesis advisor); Rauhut, Holger (Thesis advisor)

Aachen (2018)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Kurzfassung

Coorbit-Theorie bietet einen Rahmen für die Untersuchung von appoximationstheoretischen Eigenschaften von gewissen elementaren Bausteinen und für die Analyse von Eigenschaften von Funktionen durch das Abklingverhalten ihrer entsprechenden Wavelettransformation. Diese Transformation basiert auf einer Darstellung einer Gruppe und Eigenschaften der Gruppe sind entscheidend für die Struktur des verknüpften Coorbit-Raumes, der durch die Forderung einer Abklingbedingung an die Wavelettransformation definiert ist. Ein kürzlich erzieltes Ergebnis, das die Untersuchung von Coorbit-Räumen vereinfacht, ist ihre Identifikation mit Zerlegungsräumen durch die Fouriertransformation. Diese Identifikation von Coorbit-Räumen mit Zerlegungräumen hängt von einer durch die Gruppe induzierten Überdeckung ab. Da die klassische Wavelettransformation wegen ihrer isotropen Wirkung nicht dazu geeignet ist richtungsabhängige Informationen zuverlässig zu analysieren, erhält eine davon verschiedene, richtungssensitive Transformation, die auf Shearlet-Gruppen basiert, aktuell Aufmerksamkeit. Diese Shearlettransformation erlaubt die Analyse von anisotropen Eigenschaften von Signalen. In dieser Arbeit wenden wir kürzlich begründete Resultate im Zusammenhang mit dieser Indentifikationan und erweitern sie mit besonderem Fokus auf den zu Shearlet-Gruppen in drei und höheren Dimensionen gehörigen Räumen. Zuerst konstruieren wir explizit von diesen Gruppen induzierte Überdeckungen in drei Dimensionen, was eine Voraussetzung für die Identifikation mit Zerlegungsräumen darstellt. Die Untersuchung dieser Überdeckungen und ihrem Verhältnis zueinander erlaubt es, die Aussage, dass verschiedene Gruppen zu verschiedenen Räumen führen, zu präzisieren. Darauf aufbauend können wir ein allgemeines Resultat über die Einbettung von Zerlegungsräumen in Sobolevräume anwenden, um die Einbettung von Shearlet-Coorbit-Räumen in Sobolevräume zu charakterisieren. In höheren Dimensionen ist es erstrebenswert, Methoden zum Vergleich von Zerlegungsräumen zu entwickeln, die nicht die explizite Bestimmung von Überdeckungen verlangen. Zu diesem Zweck definieren wir eine Metrik, die geometrische Eigenschaften von Überdeckungen vergleichbar macht. Diese Metrik erklärt eine grobe Struktur auf dem Orbit der Gruppe und das Verhältnis verschiedener Überdeckungen kann durch die Untersuchung ihrer multiplikativen Struktur entschieden werden.

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