Modular portfolio theory : a general framework with risk and utility measures as well as trading strategies on multi-period markets

Platen, Andreas; Maier-Paape, Stanislaus (Thesis advisor); Cramer, Erhard (Thesis advisor); Zhu, Qiji Jim (Thesis advisor)

Aachen (2018, 2019)
Doktorarbeit

Kurzfassung

Die folgenden vier modularen Bausteine sind entscheidend im Zusammenhang mit der Portfoliotheorie: (a) das Marktmodell, (b) die "Handelsstrategie" des Investors, (c) die Risiko- und Nutzenfunktion und (d) das Optimierungsproblem. Das Setting der sogenannten "Modernen Portfoliotheorie" nach [Markowitz, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ, 1959] und des Capital Asset Pricing Models (CAPM) nach [Sharpe, The Journal of Finance, 19(3):425-442, 1964] besteht aus einem Einperioden-Marktmodell für (a) mit Standardabweichung als Risiko und der erwarteten Rendite als Nutzen für (c). Die Handelsstrategie/Portfolios sind dann lediglich Elemente im Vektorraum ℝ^n, dessen Einträge die entsprechenden Assets im Portfolio repräsentieren, d.h. für Baustein (b) ist nichts weiter zu tun. Aufgrund eines Trade-offs zwischen Risiko und Nutzen ist das Optimierungsproblem, im Allgemeinen, parameterabhängig. In der Situation der modernen Portfoliotheorie liegen die Risiko-Nutzen-Werte der Lösungen, d.h. der sogenannten effizienten Portfolios, für verschiedene Parameter auf dem Rand einer konvexen Menge im zweidimensionalen Risiko-Nutzen-Raum. Beim CAPM liegen diese auf einer Geraden. Verallgemeinerungen solcher Resultate wurden in [Rockafellar et al., Journal of Banking & Finance, 30(2):743-778, 2006] und [Maier-Paape und Zhu, Risks, 6(2):53, 2018] untersucht. In beiden Quellen werden effiziente Portfolios auf ähnliche Weise wie in der modernen Portfoliotheorie und dem CAPM diskutiert. In [Rockafellar et al., 2006] wird die gleiche lineare Nutzenfunktion benutzt, wohingegen das Risiko ein sogenanntes "generalized deviation measure" (verallgemeinertes Abweichungsmaß) sein kann, welches z.B. Konvexität und auch positive Homogenität fordert. In [Maier-Paape und Zhu, 2018] wird eine ähnliche Situation behandelt, wobei das Risiko weniger Voraussetzungen erfüllen muss, z.B. ist die positive Homogenität nicht gefordert. Zusätzlich sind hier allgemeinere (konkave) Nutzenfunktionen zugelassen, welche jedoch einer bestimmten Form genügen müssen. In beiden Fällen wird Baustein (a), im Einperioden-Marktmodell, und Bausteine (c) und (d) behandelt. Die Portfolios/Handelsstrategien sind weiterhin Vektoren im ℝ^n weil ein Einperioden-Markt keine Handelsstrategien ermöglicht. Diese Theorie wird nun durch die Unterteilung in die vier modularen Bausteine (a) bis (d) für allgemeine Mehrperioden-Marktmodelle erweitert. Die Portfolios sind dann keine Vektoren im ℝ^n, sondern zeitabhängige Handelsstrategien welche das Vermögen investieren. Beispiele sind die Buy-and-Hold-Strategie oder eine Strategie, welche das investierte Vermögen täglich umschichtet, so dass die Gewichtung konstant bleibt. Es werden zudem sinnvolle Eigenschaften von (a) und (b) untersucht, welche für (c) und (d) benötigt werden. Die (konkave) Nutzenfunktion ist nun von allgemeiner Form. Mit wenigen Annahmen an das Marktmodell, der Handelsstrategie und der Risiko- und Nutzenfunktion wird für dieses modulare Setup die Existenz und Eindeutigkeit von effizienten Portfolios und weitere ähnliche Resultate wie in der oben genannten Literatur gezeigt. Das Mehrperioden-Marktmodell wird z.B. für die Definition von Risikofunktionen basierend auf dem sogenannten Drawdown benötigt. Der Drawdown einer Vermögenskurve ist der (absolute oder relative) Abstand zwischen dem Maximum der Kurve und ihrem letzten Wert. Da dies in der Praxis eine wichtige Kennzahl ist, werden Drawdown-Risikomaße im Zusammenhang mit dem oben genannten Optimierungsproblem behandelt. Da der Drawdown schwierig zu berechnen ist, wird der absolute Drawdown detaillierter untersucht. Dabei wird stets angenommen, dass die Vermögenskurve durch eine Markow-Kette modelliert ist. Für allgemeinere Markow-Ketten wird gezeigt, dass eine Grenzverteilung des absoluten Drawdowns nach N Zeitschritten für N gegen unendlich genau dann existiert, wenn der Erwartungswert der Gewinne/Verluste nach jedem Zeitschritt positiv ist. Für einige Spezialfälle kann diese Verteilung implizit angegeben werden. Für den Random-Walk-Fall wird zudem ein expliziter Ausdruck für die Verteilung, sowohl nach N Zeitschritten als auch für die Grenzverteilung, angegeben.

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