Elements with large irreducible submodules contained in maximal subgroups of the general linear group

Pannek, Sabina Barbara; Hiß, Gerhard (Thesis advisor); Roney-Dougal, Colva M (Thesis advisor)

Aachen (2018, 2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018. - Dissertation, University of Western Australia, 2018

Kurzfassung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Familie von Elementen in der allgemeinen linearen Gruppe GL(V), der Gruppe aller nicht singulären linearen Abbildungen auf einem endlichen Vektorraum V. Diese Familie besteht aus den sogenannten fetten Elementen, die wie folgt definiert sind. Ein Element g in GL(V) heißt fett, wenn V einen <g>-invarianten Untervektorraum enthält, dessen Dimension größer als dim(V)/2 ist, und auf dem <g> irreduzibel operiert. Dies ist gleichbedeutend mit der Eigenschaft, dass das charakteristische Polynom von g einen irreduziblen Faktor besitzt, dessen Grad größer als dim(V)/2 ist. Anhand dieses Kriteriums lassen sich Elemente der GL(V) in der Praxis effizient auf die Eigenschaft „fett" untersuchen. Fette Elemente verallgemeinern ppd-Elemente. Darunter verstehen wir Elemente in GL(V), deren Ordnungen primitive Primteiler (auf Englisch „primitive prime divisors") besitzen. Guralnick, Penttila, Praeger und Saxl klassifizierten im Jahr 1997 alle Untergruppen der GL(V), die ppd-Elemente enthalten. Ihre Ergebnisse werden seitdem vielfältig angewandt, unter anderem in der algorithmischen Gruppentheorie, der Zahlentheorie, der Theorie der Permutationsgruppen sowie der Geometrie. Unser langfristiges Ziel ist es, all diejenigen Untergruppen der GL(V) zu klassifizieren, welche fette Elemente enthalten. Die vorliegende Dissertation kann als Auftakt dieses Projekts betrachtet werden. Im ersten Teil dieser Arbeit entwickeln wir das mathematische Handwerkszeug, das für das Studium der fetten Elemente notwendig ist. Dabei erhalten wir neue Ergebnisse aus der elementaren Zahlentheorie (über die Ordnung einer Zahl modulo r), der Körpertheorie (über Anzahlen bestimmter irreduzibler Polynome) sowie der Gruppentheorie (über irreduzible semilineare Abbildungen). Der zweite Teil widmet sich der Frage, ob - und gegebenenfalls wie häufig - fette Elemente in verschiedensten Untergruppen der GL(V) auftreten. Wie auch schon der „ppd-Klassifikation" liegt unserer Analyse Aschbachers Einteilung der maximalen Untergruppen der GL(V) in neun sich teilweise überlappende Klassen C1, ..., C8 und S zugrunde. Wir untersuchen die Existenz fetter Elemente in Gruppen, die zu Aschbachers Klassen C1, ..., C5, C7 gehören, sowie in einigen Repräsentanten der Klasse S. Gleichwohl sich die meisten fetten Elemente in der GL(V) als ppd-Elemente identifizieren lassen, zeigen wir, dass Vertreter gewisser Aschbacher Klassen, die keinerlei (oder kaum) ppd-Elemente enthalten, sehr wohl fette Elemente aufweisen. Aus diesem Grund unterscheiden sich unsere Resultate in den Klassen C2, C3, C4, C7 wesentlich von den Ergebnissen der „ppd-Klassifikation". Für Mitglieder G der Klassen C1, ..., C5 sowie (mit einigen Einschränkungen) C7 berechnen wir zudem die genaue Proportion (in G) der in G enthaltenen fetten Elemente. Wir geben für diese Proportion jeweils auch eine gute untere und obere Schranke an.

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