Left saturation closure : Theory and algorithms

• Linkssaturationsabschluss : Theorie und Algorithmen

Hoffmann, Johannes; Levandovskyy, Viktor (Thesis advisor); Zerz, Eva Barbara (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

Die Theorie der Ore-Lokalisierung von Ringen und Moduln findet Verwendung in vielen Bereichen der nicht-kommutativen Algebra, zum Beispiel Ringtheorie, Dimensionstheorie, nicht-kommutative Geometrie und viele andere. In dieser Dissertation verfolgen wir mehrere Ziele. Wir beginnen mit einer gründlichen Einführung zum Thema Ore-Lokalisierung, aufbauend auf einer axiomatischen Definition und der klassischen Konstruktion, die von Ores Arbeiten inspiriert ist. Ore-Lokalisierung ist problemlos mit der Ringaddition verträglich, allerdings ist deren Existenz für die Konstruktion überhaupt nicht notwendig. Aus diesem Grund untersuchen wir, wie sich die Theorie verändert, wenn wir statt Ringen Monoide betrachten. Der Hauptbeitrag dieser Dissertation ist das Konzept des Linkssaturationsabschlusses oder kurz LSat und die sich daraus ergebenden Anwendungen: Für eine Linksnennermenge S in einem beliebigen Ring R stellt LSat(S) eine kanonische Form von S bezüglich R-fixierender Homomorphismen von Lokalisierungen von R dar. Weiterhin spielt LSat(S) eine bedeutende Rolle in Charakterisierungen von links-invertierbaren Elementen und Linksidealen sowie weiterer struktureller Eigenschaften der Lokalisierung S^(-1)R. Wir beweisen, dass LSat(S) genau dann eine Linksnennermenge in R ist, wenn S^(-1)R Dedekind-endlich ist. In diesem Fall ist S^(-1)R auf kanonische Art und Weise isomorph zu LSat(S)^(-1)R und zusätzlich liefert LSat(S) eine vollständige Beschreibung der Einheitengruppe von S^(-1)R. Wir untersuchen Klassen von Ringen, die diese Eigenschaft erfüllen: In Ore-Bereichen charakterisieren wir maximale und prämaximale Linksnennermengen und in Faktorisierungsbereichen beweisen wir, dass jede saturierte Linksnennermenge eindeutig durch die darin enthaltenen irreduziblen Elemente bestimmt ist. Wir betrachten beispielhaft mehrere Linksnennermengen in Weyl-Algebren und die dazugehörigen Lokalisierungen. Im Anschluss erweitern wir unsere strukturellen Untersuchungen auf Ore-lokalisierte Moduln. Insbesondere zeigen wir, dass das etablierte Konzept des lokalen Abschlusses von Untermoduln ein weiterer Spezialfall des Linkssaturationsabschlusses ist. Als Spezialfall des lokalen Abschlusses betrachten wir lokale Torsion, was wiederum eine Verallgemeinerung des klassischen Torsionsbegriffs ist, und zeigen weitere Verbindungen zwischen den zwei Konzepten auf. Im letzten Teil dieser Dissertation geben wir algorithmische Lösungen für diverse Fragestellungen im Rahmen von Ore-Lokalisierungen von G-Algebren, kurz OLGAs. Wir beschreiben unser Konzept für grundlegende Arithmetik in OLGAs und deren Implementierung im Computeralgebra-System Singular:Plural. Abschließend entwickeln wir mehrere Algorithmen, um den lokalen Abschluss in wichtigen Spezialfällen zu berechnen.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (Algebra) [114920]