A space-time approach to two-phase stokes flow: well-posedness and discretization

• Ein Raum-Zeit-Ansatz für Zweiphasen Stokes Strömungen: Wohlgestelltheit und Diskretisierung

Voulis, Igor; Reusken, Arnold (Thesis advisor); Stevenson, Rob (Thesis advisor); Melcher, Christof Erich (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

In dieser Dissertation betrachten wir zeitabhängige Navier-Stokes Zweiphasenströmungen. Ein Standardmodell mit einer scharfen Phasengrenze für die Zweiphasenströmungsdynamik wird aus analytischer und numerischer Perspektive untersucht. Das Navier-Stokes Phasengrenzproblem hat unstetige Massendichte- und Viskositätskoeffizienten. In so einer Situation sind der Druck und die Geschwindigkeit unstetig auf der sich bewegenden Phasengrenze. Ein eng verwandtes lineares Problem ist das Zweiphasen-Stokes-Problem. Obwohl dieses lineare Stokes-Problem eine starke Vereinfachung der Navier-Stokes Zweiphasenströmung ist, ist es ein gutes Modellproblem für die Entwicklung numerischer Methoden. Insbesondere sind wir an einer wohlgestellten Variationsformulierung dieses Zweiphasen-Stokes-Problems in einer Eulerschen Form interessiert. Wir bevorzugen eine Eulersche Formulierung des Zweiphasen-Stokes-Problems, da wir das Problem in euklidischen Koordinaten diskretisieren. Mehrere wohlgestellte Formulierungen werden betrachtet. Wir zeigen die Wohlgestelltheit von einer variationellen Formulierung in geeigneten Räumen divergenzfreier Funktionen. Eine Variante mit einem Lagrange-Multiplikator für den Druck wird auch betrachtet. In Anbetracht einer diskontinuierlichen Galerkin (DG) Methode geben wir eine wohlgestellte Formulierung mit zeitlichen Unstetigkeiten des Problems an. Die Variationsformulierung mit zeitlichen Unstetigkeiten und einer Druckvariable für die Divergenzbedingung ist ein natürlicher Anfangspunkt für eine Raum-Zeit Finite-Elemente-Diskretisierung. Wir betrachten DG Methoden für abstrakte parabolische Probleme mit inhomogenen linearen Bedingungen. Dies umfasst das Stokes-Problem mit inhomogenen (zeitabhängigen) Dirichlet-Randdaten und/oder einer inhomogenen Divergenzbedingung. Ein anderes derartiges Problem ist die Wärmeleitungsgleichung mit einer inhomogenen Randbedingung. Es gibt zwei gängige Mittel um abstrakte Sattelpunktprobleme zu behandeln: explizit und implizit (mittels eines Lagrange-Multiplikators). Daher werden unterschiedliche Variationsformulierungen für das parabolische Problem mit linearen Bedingungen eingeführt. Für diese Formulierungen werden unterschiedliche Modifizierungen des Standard DG Zeitdiskretisierungsverfahrens betrachtet. Unterschiedliche Möglichkeiten um die lineare Bedingung zu behandeln, z.B. durch eine geeignete Projektion, werden eingeführt und analysiert. Für diese Diskretisierungen werden optimale Fehlerabschätzungen hergeleitet, unter anderem die Superkovergenz. Fehlerschranken für den Lagrange-Multiplikator werden dargelegt. Numerische Resultate bestätigen die theoretischen optimalen Konvergenzgeschwindigkeiten und zeigen, dass sich das (Standard) DG Verfahren ohne Modifizierung suboptimal verhält. Wir betrachten zwei explizite Beispiele: die Wärmeleitungsgleichung und das Stokes-""Problem. In beiden Fällen werden volldiskrete Methoden besprochen, wobei die DG Zeitdiskretisierung kombiniert wird mit einer räumlichen kontinuierlichen Galerkin (CG) Methode. Für die Wärmeleitungs\-gleichung zeigen wir eine optimale Fehlerschranke bezüglich der Energienorm. Für das Stokes-Problem werden dynamische räumliche Gitter betrachtet, da dies ein nützliches Mittel ist, um den Rechenaufwand für Zweiphasenströmungen, die nur ein feines Gitter an der sich bewegenden Phasengrenze benötigen, zu begrenzen. Für das Einphasen-Stokes-Problem zeigen wir globale Fehlerschranken, die lokal optimal sind. Dies wird für die Geschwindigkeit und den Druck gezeigt. Ein Raum-Zeit-Verfahren für das Zweiphasen-Stokes-Problem wird eingeführt, einschließlich eines diskreten Zeitableitungsoperators mit einem unstetigen, zeitabhängigen Koeffizienten. Mehrere numerische Experimente werden durchgeführt mittels des Softwarepaketes DROPS. Standard Finite-Elemente-Räume haben schlechte Approximationseigenschaften für unstetige Unbekannte. Wir zeigen die Stärke einer erweiterten Finite-Elemente-Methode. Diese ermöglicht uns die Behandlung des unstetigen Druckes und bietet uns eine verbesserte Methode.