Monitoring coherent systems: exact and computational statistical inference

• Überwachung kohärenter Systeme: Exakte und computerbasierte statistische Inferenzverfahren

Hermanns, Marius Lukas; Cramer, Erhard (Thesis advisor); Kamps, Udo (Thesis advisor)

Aachen (2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

In dieser Arbeit werden verschiedene Modelle mit Komponenten- und Systemlebensdauern thematisiert. Es wird zwischen permanenter Überwachung eines Systems, wobei die Lebensdauern aller relevanten Komponenten beobachtet werden, und einem Datensatz mit Systemlebensdauern unterschieden. Da permanent überwachte kohärente Systeme mit progressiver Typ-II Zensierung zusammenhängen, werden bekannte Resultate für kohärente Systeme, progressive Zensierung und permanente Überwachung in Teil I präsentiert (Kapitel 1-4). In Teil II werden neue permanente Überwachungsmodelle mit entsprechenden Verteilungen, parametrischen Schätzern und Berechnungsverfahren eingeführt. Zuerst wird das neue Modell gestoppte Überwachung mit maximaler Fehleranzahl betrachtet. Dabei wird eine maximale Anzahl an Ausfällen der Komponenten festgelegt. Bei gestoppter Überwachung mit Stoppzeit wird die Überwachung spätestens gestoppt, wenn die Stoppzeit erreicht ist. Ein solcher Eingriff ist nötig bei Restriktionen wie Kosten und Kapazität. Die permanente Überwachung bis zum Systemausfall wird als perfekte Überwachung bezeichnet, da eine "perfekte" Stichprobe mit Ausfallzeiten aller relevanten Komponenten erreicht wird. Weiter werden unterschiedliche Verteilungsstrukturen der Komponenten angenommen wie unabhängige identisch verteilt (IID), unabhängig nicht-identisch verteilt (INID), abhängig nicht-identisch verteilt (DNID) und fehlerabhängig. Zwei Informationsmodelle werden betrachtet: Ein Modell mit vollständiger Information (CI), welche Ausfallzeit zu welcher Komponente gehört; und ein Modell ohne diese Information (ICI). Die Überwachungsmodelle, Verteilungsstrukturen der Komponenten und Informationsmodelle werden zu Triple-Modellen kombiniert. In Kapitel 5 wird gezeigt, dass gestoppte Überwachung mit maximaler Fehleranzahl unter dem IID Modell auf eine Rechtszensierung einer progressiv Typ-II zensierten Stichprobe hinausläuft. Für das CI Modell mit Exponential- bzw. Weibull Verteilung werden bekannte Resultate über Likelihood-Inferenz und Konfidenzintervalle adaptiert. Für das ICI Modell mit Exponentialverteilung wird ein Fixpunkt-Verfahren zur Berechnung des Maximum-Likelihood-Schätzers (MLE) zu dem bekannten EM-Algorithmus zugefügt. In Kapitel 6 wird eine Beziehung zwischen Typ-I progressiver Hybridzensierung und gestoppter Überwachung mit Stoppzeit unter dem IID Modell vorgestellt. Für das CI Modell werden Likelihood-Inferenz und Konfidenzintervalle einer Exponential- bzw. Weibull Verteilung analysiert. Ein EM-Algorithmus und eine Fixpunkt-Iteration zur Berechnung des MLE einer Exponentialverteilung werden hergeleitet für das ICI Modell. Kapitel 7 behandelt die Kombination von perfekter Überwachung und dem INID Modell. Es werden MLEs und Momenten-Methode-Schätzer für Skalenparameter von Exponentialverteilungen hergeleitet. MLEs existieren nur mit der Bedingung, dass mindestens eine Lebensdauer zu jedem unbekannten Parameter beobachtet wird. In Kapitel 8 werden zwei Modelle für abhängige Komponenten vorgestellt. Das erste Modell einer perfekten Überwachung mit fehlerabhängigen Komponenten hängt mit sequentiellen Ordnungsstatistiken zusammen und es können einige Resultate über Likelihood-Inferenz angewendet werden. Das zweite Modell beleuchtet die perfekte Überwachung mit DNID Lebensdauern, wobei die Abhängigkeit mit einer Copula modelliert wird. Parametrische Inferenz für Archimedean Copulas (Clayton Familie) wird diskutiert mit Maximum-Likelihood-Schätzung, Kendalls-Tau-Methode, kanonischer Maximum-Likelihood-Schätzung und Schätzung mittels Inferenzfunktionen der Randverteilungen. Für Farlie-Gumbel-Morgenstern Copulas sind die Methoden basierend auf Likelihood-Funktionen nicht geeignet und nur die Kendalls-Tau-Methode kann verwendet werden. In Teil III werden verschiedene Setups mit Systemlebensdauern behandelt. Typ-I progressive Hybridzensierung von Systemlebensdauern wird in Kapitel 9 thematisiert. Für Exponentialverteilungen werden Fixpunkt-Verfahren hergeleitet, von nicht-zensierten Lebensdauern beliebiger Systeme und von progressiv Typ-II zensierten k-aus-n Systemlebensdauern. Weitere EM-Algorithmen werden in Kapitel 10 vorgestellt. Dabei werden Systemlebensdauern als unvollständige Stichprobe einer permanenten Überwachung aufgefasst. Abschließend wird damit eine Verbindung von permanenter Überwachung aus Teil II und Systemlebensdauern aus Teil III aufgedeckt. In dieser Arbeit unterstreichen Simulationsstudien die Vorteile der hergeleiteten Fixpunkt-Verfahren und EM-Algorithmen gegenüber dem Newton-Raphson-Verfahren in Hinsicht auf Konvergenz und Berechnungszeit. Darüber hinaus wird die Konvergenz der Fixpunkt-Verfahren unter bestimmten Bedingungen bewiesen.

Einrichtungen

• Lehr- und Forschungsgebiet Angewandte Stochastik [116320]
• Fachgruppe Mathematik [110000]