Robust preconditioners for $hp$-discontinuous Galerkin discretizations for elliptic problems

• Robuste Vorkonditionierer für $hp$-Discontinuous Galerkin Methoden für elliptische Probleme

Brix, Kolja; Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor); Canuto, Claudio (Thesis advisor)

Aachen (2018, 2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Kurzfassung

Discontinuous-Galerkin-Verfahren (DG-Verfahren) bieten ein sehr leistungsstarkes Diskretisierungswerkzeug, da sie nicht nur für ein breites Spektrum partieller Differentialgleichungen geeignet sind, sondern auch, weil sie sowohl lokal verfeinerte Gitter als auch variierende Polynomgrade unterstützen. Die bei der Diskretisierung elliptischer Differentialgleichungen mit DG-Verfahren entstehenden linearen Gleichungssysteme werden sehr schnell schlecht konditioniert, so dass sie nicht effizient gelöst werden können. Bestehende Vorkonditionierungskonzepte schränken die von DG-Verfahren gebotene Flexibilität oft ein, indem sie hohe Anforderungen an die Gitter und die Verteilung der Polynomgrade stellen, so dass die Vorteile der DG-Verfahren nicht vollständig zu nutzen sind. Weiterhin wachsen die Konditionszahlen der entstehenden linearen Gleichungssysteme mit dem in der Diskretisierung verwendeten Polynomgrad. Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion, Analyse und Implementierung eines Vorkonditionierers für spektrale DG-Diskretisierungen elliptischer Randwertprobleme, der bezüglich des beliebig hohen und lokal variierenden Polynomgrades vollständig robust ist. Dies bedeutet, dass unter niedrigen Graduierungsanforderungen die erreichten Konditionszahlen des vorkonditionierten Problems unabhängig von der Gitterweite und den Polynomgraden uniform beschränkt bleiben. Den Schlüssel, um die vollständige Robustheit des Vorkonditionierers im Polynomgrad zu erreichen, bilden die Legendre-Gauss-Lobatto-Gitter (LGL-Gitter) in Kombination mit speziellen Äquivalenzen, welche die Normen nodaler spektraler Elemente mit denen zugehöriger Finite-Elemente-Funktionen niedriger Ordnung koppeln. LGL-Gittern fehlen wichtige Eigenschaften, zum Beispiel sind LGL-Gitter verschiedener Ordnungen nicht geschachtelt. Daher wird eine Familie geschachtelter dyadischer Gitter konstruiert, deren Eigenschaften wir untersuchen. Der in dieser Arbeit vorgeschlagene Vorkonditionierer besteht aus drei Phasen, wobei in jeder Stufe unterschiedliche Teilprobleme in Angriff genommen und überwunden werden. Dabei dient in jedem Schritt die auxiliary space method als konzeptionelle Plattform zum Entwurf des Vorkonditionierers. Im ersten Schritt wird die spektrale DG-Formulierung durch die zugehörige konforme Formulierung vorkonditioniert. Der zweite Schritt dient der Vorkonditionierung der Formulierung hoher Ordnung auf anisotropen LGL-Gittern durch eine Finite-Elemente-Formulierung auf dem zugehörigen anisotropen dyadischen Gitter. Im dritten Schritt wird ein Multilevel-Vorkonditionierer bereitgestellt, der die Multilevel-Hierarchie nutzt, die den dyadischen Gittern innewohnt, und auf geeigneten Multiwaveleträumen basiert. Die theoretischen Konstruktionen der Vorkonditionierer werden durch quantitative numerische Experimente ergänzt, die Einblicke bezüglich der erreichten Konditionszahlen und deren Abhängigkeiten von den Parametern liefern. Sachgebietklassifikation der American Mathematical Society (MSC2010):33C45, 34C10, 65N35, 65N55, 65N30, 65N22, 65F10, 65F08c