Surface measures on path spaces of riemannian manifolds

Nobis, Vera; Wittich, Olaf (Thesis advisor); Führ, Hartmut (Thesis advisor)

Aachen (2019, 2020)
Doktorarbeit

Kurzfassung

In dieser Dissertation werden Oberflächenmaße auf Pfadräumen Riemannscher Mannigfaltigkeiten, die von einer Brownschen Bewegung induziert werden, diskutiert. In der Literatur finden sich dazu bereits einige Ansätze. Die Brownsche Bewegung wurde dabei auf Tubenumgebungen von Untermannigfaltigkeiten studiert. In dieser Arbeit behandeln wir den folgenden Fall: Es sei $(L,g_L)$ eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit, die isometrisch in die vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ eingebettet ist. Wir betrachten eine Brownsche Bewegung auf $M$, die in $x\in L$ startet. Es stellt sich heraus, dass bedingte Brownsche Bewegung auf Tubenumgebungen $L(\varepsilon), \varepsilon >0,$ der Untermannigfaltigkeit, mit der absorbierten Brownschen Bewegung am Rand der Tube zusammenhängt. Für die bedingten Maße wurde von Sidorova, Smolyanov, von Weizsäcker und Wittich (2014) gezeigt, dass ihnen Markov Prozesse zugrunde liegen, die für $\varepsilon \to 0$ schwach konvergieren. Außerdem wurde bereits bewiesen, dass die Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf Tubenumgebungen von immer kleiner werdendem Radius durch die Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf $L$ und einer glatten Potentialfunktion $W_0$ auf $L$ beschrieben werden kann. Dabei hängt $W_0$ von den Eigenschaften von $L$, $M$ und der Einbettung $\varphi: L \to M$, also von intrinsischen und extrinsischen Größen, ab. Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Interpretation und Berechnung des Potentials $W_0$ und die Analyse seiner Eigenschaften. Hierbei wollen wir vor allem verstehen, welche Rolle $W_0$ in dem zugrundeliegenden Prozessspielt. Das Hauptresultat ist, dass zu jeder gegebenen glatten Funktion $W$ auf einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit $L$ eine Einbettung von $L$ in einen umgebenden Raum konstruiert werden kann, sodass $W$ bereits das Potential dieser Einbettung ist. Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit findet sich in Kapitel 2, in welchem wir das Potential für verschiedene Spezialfälle von Einbettungen betrachten. Im Falle total geodätischer Einbettungen ergibt sich ein bemerkenswertes Resultat. Das Potential ist hier genau der erste relevante Störungsterm aus der Volumenformel für Tuben von Weyl und Gray. Dieses Resultat liefert, durch den Zusammenhang zum endlich dimensionalen Tubenvolumen, eine erste Interpretation für $W_0$. Wir werden außerdem eine koordinaten-freie Version der Volumenformel angeben. In Kapitel 6 untersuchen wir außerdem den Effekt sukzessiver Bedingungen. Sei dazu $L_2\subset L_1 \subset M$.Es stellt sich heraus, dass wir im Allgemeinen unterschiedliche Pfadmaße erhalten, wenn wir einmal direkt von $M$ auf $L_2$ bedingen, oder zunächst auf $L_1$ und dann auf $L_2$. Der Unterschied in den Formeln wird durch eine Kozykelbedingung beschrieben.

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