Gitter und Codes über Kettenringen

• Lattices and codes over chain rings

Eisenbarth, Simon; Nebe, Gabriele (Thesis advisor); Kirschmer, Markus (Thesis advisor)

Aachen (2019, 2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Kurzfassung

Motiviert durch die Frage, wie sich $\mathbb{F}_p$-lineare, extremale, selbst-duale Codes mit einem Automorphismus der Ordnung $p$ klassifizieren lassen, wird in der vorliegenden Dissertation die Struktur von selbst-dualen Codes über Kettenringen untersucht. Sei $R$ ein solcher Ring, $x$ ein Erzeuger des maximalen Ideals von $R$ und sei $a \in \mathbb{N}_0$ maximal, so dass $x^a \neq 0$ ist. Ein Code $C$ über $R$ der Läange $t$ ist ein $R$-Teilmodul des freien Moduls $R^t$. Die Multiplikation mit $x$ definiert die Kette $C \supseteq C^{(1)} := Cx \supseteq C^{(2)} := Cx^2 \supseteq \cdots \supseteq C^{(a)} := Cx^a \supseteq \lbrace 0 \rbrace$ von Teilcodes von $C$. Es wird gezeigt, dass wenn $C$ selbst-dual ist, ist der Sockel $C^{(a)}$ ein selbst-dualer (hermitescher) Code über dem Restklassenkörper $\mathbb{F} = R / \langle x \rangle$ genau dann wenn $C$ ein freier $R$-Modul ist. In diesem Fall sind die $C^{(i)}$ selbst-dual in geeigneten bilinearen Räumen über $\mathbb{F}$ und es wird eine Methode beschrieben, um ausgehend von einem gegebenem Code $C^{(a)}$, alle Lifts $C$ zu konstruieren, die selbst-dual und freie $R$-Moduln sind. Damit wird bewiesen, dass der Pless-Code $P_{36}$ der einzige ternäre, selbst-duale, extremale Code der Länge $36$ mit einem Automorphismus der Ordnung $3$ ist, diese Aussage war bisher nur für Prim-Ordnungen $\geq 5$ bekannt. Zusätzlich werden Gruppencodes über Kettenringen untersucht, die relativ-projektiv im Sinne der homologischen Algebra sind. Diese Codes stehen in Bijektion zu Ketten von projektiven Gruppencodes über dem Restklassenkörper und mit diesen Ketten lassen sich direkt Eigenschaften wie der Minimalabstand oder der duale Code angegeben. Schließlich werden extremale, $p$-modulare Gitter mit Automorphismen der Ordnung $p$ betrachtet. Die Operation eines solchen Automorphismus liefert eine Zerlegung des zugrunde liegenden quadratischen Raumes in eine Fixpunkt- und zyklotomische Komponente, durch die Projektion bzw. den Schnitt des Gitters mit den beiden Komponenten lassen sich antiisometrische, quadratische, $\mathbb{F}_p$-wertige Räume definieren. Im Gegensatz zum unimodularen Fall sind diese aber nicht anisotrop, sondern enthalten (isomorphe) maximal total isotrope Teilräume. Diese definieren $p$-elementare (hermitesche) Gitter und können benutzt werden, um die Fix- und zyklotomischen Teilgitter zu bestimmen. Damit wird gezeigt, dass das einzige bisher bekannte $24$-dimensionale, $3$-modulare, extremale Gitter das einzige solche Gitter mit einem Automorphismus der Ordnung 3 ist, diese Klassifikation wurde bisher nur für Prim-Ordnungen $\geq 5$ gezeigt. Zusätzlich werden alle $5$-modularen, extremalen Gitter der Dimension 20 mit einem Automorphismus der Ordnung 5 klassifiziert.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie [114710]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik (Algebra) [114820]