Stabilization and uncertainty quantification for systems of hyperbolic balance laws

Gerster, Stephan; Herty, Michael (Thesis advisor); Frank, Martin (Thesis advisor); Göttlich, Simone (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Wir betrachten die Wohlgestelltheit und die Stabilisierung von eindimensionalen Systemen von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen auf Netzwerken. Das p-System ist von besonderem Interesse. Es beinhaltet Flachwassergleichungen, die Wasser in Kanälen modellieren, und es beinhaltet isothermale Eulergleichungen, die Gasdynamiken in Pipelines beschreiben. Weil diese Versorgungsnetzwerke üblicherweise in einem Gleichgewichtszustand betrieben werden, präsentieren wir Randwertkontrollen, welche die Stabilisierung von Perturbationen der Gleichgewichtszustände garantieren. Dabei nehmen wir linearisierte Modelle an und wir nutzen Lyapunov Funktionen, die Konvergenzraten für die Abweichungen zu Gleichgewichtszustände liefern. Hinreichende Bedingungen werden präsentiert, die explizite Abfallraten für die exponentiell schnell fallende Lyapunov Funktionen liefern. Des Weiteren präsentieren wir upwind- und downwind Diskretisierungen, welche kontinuierliche Stabilitätsresultate erhalten. Größere Schwankungen werden durch stochastische Prozesse modelliert, deren Dynamiken durch nichtlineare, hyperbolische Systeme beschrieben sind. Die Abhängigkeit der Lösung von dem stochastischen Input wird a priori durch eine Reihenentwicklung vorgeschrieben. Ein stochastischer Galerkin Ansatz wird verwendet, um deterministische Gleichung für die Koeffizienten der abgeschnittenen Reihenentwicklung zu erhalten. Wir präsentieren Bedingungen, welche die Lösbarkeit der Gleichungen für die Koeffizienten garantieren. Insbesondere werden Hyperbolizitätseigenschaften für die Galerkin Formulierung bewiesen. Weil Lösungen zu hyperbolischen Gleichungen Unstetigkeiten aufweisen, müssen diese in einer schwachen Formulierung betrachtet werden. Dann ist die Lösung nicht notwendigerweise eindeutig. Lösungen, welche nicht physikalisch sinnvoll sind, werden durch ein Entropieflusspaar aussortiert, welches wir für die Galerkin Formulierung für Flachwassergleichungen herleiten. Stabile finite Volumen Methoden führen Viskositäten ein, welche unstetige Lösungen glätten. Daher wird ein Roe Fluss, welche weniger dissipativ ist, für die Galerkin Formulierung der isothermalen Eulergleichungen eingeführt