Regularity of stationary surfaces of Cartan functionals with Plateau boundary conditions

Haeger, Henrik; von der Mosel, Heiko (Thesis advisor); Wagner, Alfred (Thesis advisor)

Aachen (2020)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2020

Kurzfassung

Die Arbeit behandelt die Regularität stationärer Flächen von Cartan Funktionalen mit Plateau Randbedingungen. Diese können als Verallgemeinerung von Minimierern von zweidimensionalen parametrischen Funktionalen verstanden werden, die in [HvdM03b] und [HvdM03c] behandelt wurden. Alle Ergebnisse werden hergeleitet mittels einer schwachen Form einer Euler-Lagrange Ungleichung bezüglich Testfunktionen, die die Randbedingungen erhalten. Essentiell ist das Konzept der Dominanzfunktion für Cartan Integranden (siehe [HvdM03a]), mit deren Hilfe sich eine Euler-Lagrange Ungleichung für ein "besseres" quadratisches Funktional aufstellen lässt. Damit können wir gewisse Bedingungen formulieren, unter denen Hölderstetigkeit gezeigt werden kann, was der erste Schritt für weitere Regularitätsresultate ist. Um höhere Regularität zu bekommen, benötigt man die Existenz einer perfekten Dominanzfunktion. Außerdem zeigen wir Glattheit der stationären Flächen außerhalb deren Verzweigungspunkten. Das letzte Resultat besagt, dass die Integrabilität der Hessischen der Fläche (sofern diese existiert) erhöht werden kann. Dies ist möglich mit Hilfe eines Funktionals, welches vom Gradienten minimiert wird und von Kipps [Kip57] konstruiert wurde.

Einrichtungen

• Fachgruppe Mathematik [110000]
• Lehr- und Forschungsgebiet Mathematik [112120]